Variance and Standard Deviation

Q: प्रश्न:1.प्रमाप विचलन का सूत्र लिखो। (Write the Formula of the Standard Deviation):

(1.)प्रत्यक्ष विधि \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{N}}(व्यक्तिगत श्रेणी) (2.)लघु विधि \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma fd x}{N}\right)^2} \\ \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f x^2}{N}-(\overline{X})^2}(खण्डित एवं सतत श्रेणी)

Q: प्रश्न:2.विचरण गुणांक का सूत्र लिखो। (Write the Formula of Coefficient of Variation):

उत्तर: विचरण गुणांक=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100

Q: प्रश्न:3.सम्बन्ध तथा संकेन्द्रण गुणांक का सूत्र लिखो। (Write the Formulas of Empirical Relationship and Gini's Coefficient of Concentration):

उत्तर: Q.D.=\frac{2}{3} \sigma (2.)गिनी का संकेन्द्रण गुणांक (Gini's Coefficient of Concentration)G=\frac{\Delta_1 }{2 \overline{X}} जहाँ Gini's M.D. \Delta_1=\frac{\Sigma \Delta}{n} उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Variance and Standard Deviation),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam March 7, 2026 Statistics No Comments

Contents hide

1 1.प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Variance and Standard Deviation),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation):

1.1 2.प्रसरण एवं प्रमाप विचलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Variance and Standard Deviation):

1.1.1 3.प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Frequently Asked Questions Related to Variance and Standard Deviation),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.1.2 प्रश्न:1.प्रमाप विचलन का सूत्र लिखो। (Write the Formula of the Standard Deviation):

1.1.3 प्रश्न:2.विचरण गुणांक का सूत्र लिखो। (Write the Formula of Coefficient of Variation):

1.1.4 प्रश्न:3.सम्बन्ध तथा संकेन्द्रण गुणांक का सूत्र लिखो। (Write the Formulas of Empirical Relationship and Gini’s Coefficient of Concentration):

1.1.4.1 Variance and Standard Deviation

2 प्रसरण एवं प्रमाप विचलन(Variance and Standard Deviation)

2.1 Variance and Standard Deviation

1.प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Variance and Standard Deviation),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation):

Variance and Standard Deviation

प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Variance and Standard Deviation) के इस लेख में प्रमाप विचलन,प्रसरण और इनके गुणांक ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Skewness and Standard Deviation

2.प्रसरण एवं प्रमाप विचलन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Variance and Standard Deviation):

Example:1.समझौते के एक कारखाने की साप्ताहिक औसत मजदूरी 10 रु. से बढ़कर 15 रु. हो गई और प्रमाप विचलन 2 से बढ़कर 3 रु. हो गया।समझौते मजदूरी में वृद्धि तथा अधिक समानता आ गई।समीक्षा कीजिए।
(As a result of an agreement,the weekly average wages in a factory increased from Rs. 10 to Rs. 15 and the standard deviation went up from Rs. 2 to Rs. 3.After the agreement there was an increase and greater uniformity in wages.Comment.)
Solution: $\overline{X}=10, \sigma=2$
C.V. of Wages= $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{2}{10} \times 100=20 \%$
After increase: $\overline{X}$ =15 and $\sigma$ =3
Now C.V. of wages= $\frac{3}{15} \times 100=20 \%$
मजदूरी में वृद्धि परन्तु विचरण गुणांक पूर्ववत है।
Example:2.एक साधारण रूप से असममित वितरण में चतुर्थक विचलन का गुणांक 0.6 है तथा तृतीय चतुर्थक 16,मध्यका तथा बहुलक क्रमशः 14 एवं 12 है।कार्ल पिर्यसन का विचरण गुणांक ज्ञात कीजिए।
(In a moderately asymmetrical distribution,the coefficient of quartile deviation was 0.6 and the third quartile,median and mode were 16,14 and 12 respectively.Calculate Karl Pearson’s coefficient of variation.)
Solution:Given Coeff. of Q.D.=0.6, $Q_3$ =16 , M=14,Z=12
Coeff. of Q.D.= $\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1} \\ \Rightarrow 6.6=\frac{16-Q_1}{16+Q_1} \\ \Rightarrow 9.6+0.6 Q_1=16-Q_1 \\ \Rightarrow 0.6 Q_1+Q_1=16-9.6 \\ \Rightarrow 1.6 Q_1=6.4 \\ \Rightarrow Q_1=\frac{6.4}{1.6}=4$
Q.D.= $\frac{Q_3-Q_1}{2}=\frac{16-4}{2}=\frac{12}{2}=6 \\ \text{Q.D.}=\frac{2}{3} \sigma \\ \Rightarrow 6=\frac{2}{3} \times \sigma \\ \Rightarrow \sigma=\frac{6 \times 3}{2} \\ \Rightarrow \sigma=9 \\ 2 \overline{X}+Z=3 M \\ \Rightarrow 2 \overline{X}+12=3 \times 14 \\ \Rightarrow 2 \overline{X}=42-12 \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{30}{2}=15$
C.V.= $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100=\frac{9}{15} \times 100 \\ \Rightarrow \text{C.V.}=60 \%$
Example:3.नीचे दिए गए हुए मूल्यों से प्रमाप विचलन का मूल्य ज्ञात कीजिए:
(From the following values find the standard deviation):
Mean=45;Median=48 and coefficient of skewness=-0.4
Solution: $\overline{X}=45, M=48, J_M=-0.4 \\ J_M=\frac{3(\overline{X}-M)}{\sigma} \\ \Rightarrow -0.4=\frac{3(45-48)}{\sigma} \\ \Rightarrow \sigma=\frac{3 \times-3}{-0.4}=22.5$
Example:4.अपकिरण का चतुर्थक गुणांक ज्ञात कीजिए;यदि विषमता का चतुर्थक-गुणांक=-0.36;मध्यका=16.5 और प्रथम चतुर्थक=13.8
(Find the quartile Coefficient of dispersion,if the quartile coefficient of skewness=-0.36;Median=16.5;and first quartile=13.8)
Solution:Given $J_Q=-0.36, M=16.5 , Q_1=13.8 \\ J_Q=\frac{Q_3+Q_1-2 M}{Q_3-Q_1} \\ \Rightarrow-0.36=\frac{Q_3+13.8-2 \times 16.5}{Q_3-13.8} \\ \Rightarrow-0.36 Q_3+4.968=Q_3+13.8-33 \\ \Rightarrow Q_3+0.36 Q_3=4.968+33-13.8 \\ \Rightarrow 1.36 Q_3=24.168 \\ \Rightarrow Q_3=\frac{24.168}{1.36}=\frac{24168 \times 100}{136 \times 100} \\ \Rightarrow Q_3=\frac{3021}{170}$
coeff. of Q.D.= $\frac{Q_3-Q_1}{Q_3+Q_1} \\ =\frac{\frac{3021}{170}-13.8}{\frac{3021}{170}+13.8} \\ =\frac{3021-2346}{3021+2346} \\ =\frac{675}{5367} \approx 0.12576 \\ \Rightarrow \text { coeff. of Q.D. } \approx 0.126$
Example:5.प्रथम 11 प्राकृतिक अंकों का प्रमाप विचलन प्रत्यक्ष रूप से ज्ञात कीजिए:
(Obtain the standard deviation of first 11 natural numbers.)
Solution:
समान्तर माध्य $(\overline{X})=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{66}{11}=6 \\ \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{N}}=\sqrt{\frac{110}{11}} \approx 3.162 \\ \Rightarrow \sigma \approx 3.16$
Alternate:
$\sigma=\sqrt{\frac{1}{12}\left(N^2-1\right)} \\ =\sqrt{\frac{1}{12}\left(11^2-1\right)} \\ =\sqrt{\frac{1}{12} \times 120} \\ =\sqrt{10} \\ \sigma \approx 3.162$

Variance and Standard Deviation

Example:6.निम्न मूल्यों की सहायता से गिनी का माध्य-अन्तर और गिनी का संकेन्द्रण गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following values find the Gini’s mean difference and Gini’s concentration coefficient):
15,19,25,28 and 30
Solution: $\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{values} & \text{Difference} & & & & \text{Total} \\ \hline 15 & & & & & \\ 19 & 4 & & && 4 \\ 25 & 10 & 6 & & & 16\\ 28 & 13 & 9 & 3 & & 25 \\ 30 & 15 & 11 & 5 & 2 & 33 \\ \hline \text { Total=117 } & & & & &\Sigma \Delta=78 \\ \hline \end{array}$
$n=\frac{1}{2} N(N-1)=\frac{1}{2} \times 5(5-1) =10 \\ \overline{X}=\frac{ \Sigma X}{N}=\frac{117}{5}=23.4$
Gini’s M.D. $\Delta_1=\frac{\Sigma \Delta}{n}=\frac{78}{10}=7.8$
गिनी का संकेन्द्रण-गुणांक
$G=\frac{\Delta_1}{2 \overline{X}} \\ =\frac{7.8}{2 \times 23.4}=\frac{7.8}{46.8} \\ \approx 0.166 \\ \Rightarrow G \approx 0.17$
Example:7.20 वर्षों के लिए संसार के वार्षिक स्वर्ण-उत्पादन (दस लाख पौंड में) के निम्नलिखित मूल्यों का समान्तर माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(Find the Arithmetic mean and standard deviation of the following values of annual gold-production (in million pounds) of the world for 20 years):
$\begin{array}{clllllllll} 94 & 95 & 96 & 93 & 87 & 79 & 73 & 69 & 68 & 67 \\ 78 & 82 & 83 & 89 & 95 & 103 & 108 & 117 & 130 & 97 \end{array}$
समान्तर माध्य से $\pm \sigma , \pm 2 \sigma , \pm 3 \sigma$ अन्तरों के बराबर आने वाले मूल्यों का प्रतिशत निकालिए।
(Find the percentage of values lying outside mean $\pm \sigma , \pm 2 \sigma$ and $\pm 3 \sigma$ )
Solution:Calculation Table of Standard Deviation
$\begin{array}{|ccc|} \hline X & dx=X-\overline{X} & d^2 \\ \hline 94 & +4 & 16 \\ 95 & +5 & 25 \\ 96 & +6 & 36 \\ 93 & +3 & 9 \\ 87 & -3 & 9 \\ 79 & -11 & 121 \\ 73 & -17 & 289 \\ 69 & -21 & 441 \\ 68 & -22 & 484 \\ 67 & -23 & 529 \\ 78 & -12 & 144 \\ 82 & -8 & 64 \\ 83 & -7 & 49 \\ 89 & -1 & 1 \\ 95 & +5 & 25 \\ 103 & +13 & 169 \\ 108 & +18 & 324 \\ 117 & +27 & 729 \\ 130 & +40 & 1600 \\ 97 & +7 & 49 \\ \hline \text{Total}=1803 & & 5113 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य $\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N} =\frac{1803}{20}=90.15 \\ \overline{X} \approx 90$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{N}} \\ =\sqrt{\frac{5113}{20}} \\ \approx 15.989 \\ \Rightarrow \sigma \approx 15.99 \\ \overline{X}+\sigma=90+15.99 \\ \Rightarrow \overline{X}+ \sigma=105.99 \\ \overline{X}-\sigma=90-15.99 \\ \Rightarrow \overline{X} -\sigma=74.01$
अतः $\overline{X} \pm \sigma$ के बाहर मूल्य हैं=7
$\frac{7}{20} \times 100=35 \% \\ \overline{X}+2 \sigma=90+31.98 \\ \Rightarrow \overline{X}+2 \sigma=121.98 \\ \overline{X}-2 \sigma=90-31.98 \\ \Rightarrow \overline{X} -2 \sigma=58.02$
अतः $\overline{X} \pm 2 \sigma$ के बाहर मूल्य हैं अर्थात् 58.02 से 121.98 के बाहर मूल्य हैं=1
$\frac{1}{20} \times 100=5 \% \\ \overline{X}+3 \sigma=90+3 \times 15.99=90+47.97=137.97 \\ \overline{X}-3 \sigma=90-3 \times 15.99=90-47.97=42.03$
$\overline{X} \pm 3 \sigma$ अर्थात् 42.03 से 137.97 के बाहर मूल्य हैं=0%
Example:8.किसी परीक्षा में तीन प्रत्याशियों के बिल्कुल समान अंक थे और उन्हें एक समान स्थान दिया गया।निम्न समंकों का प्रयोग करते हुए यह निश्चित कीजिए कि क्या तीनों को समान स्थान देना न्यायोचित थाः
(In an examination,three candidates had exactly equal marks and they were all bracketed together for one rank. Using the following figures,determine whether the assignment of equal rank to all the three candidates was just and equitable):
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{5}{|c|}{\text{Marks out of 100}} \\ \text { Candidate } & \text { Engtish } & \text { Science } & \text { maths } & \text { Total } \\ \hline A & 95 & 70 & 61 & 226 \\ B & 69 & 83 & 74 & 226 \\ C & 70 & 74 & 82 & 226 \\ \hline \end{array}$
तीनों विषयों (अंग्रेजी,विज्ञान व गणित) में माध्य-प्राप्तांक 55,53 और 50 तथा प्रमाप विचलन क्रमशः 16,12 और 11 थे।
(Mean marks in the three subjects (English,science and Maths) are 55,53 and 50 and standard deviation are respectively 16,12 and 11.)
Solution:A के लिए Z-समंक
English $Z=\frac{X-\overline{X}}{\sigma}=\frac{95-55}{16}=2.5$
Science $Z=\frac{70-53}{12} \approx 1.416 \\ Z \approx 1.416$
Maths $Z=\frac{61-50}{11}=\frac{11}{11}=1$
कुल Z-समंक=2.5+1.416+1=4.916 $\approx 4.92$
B के लिए Z-समंक
English $Z=\frac{69-55}{16}=0.875$
Science $Z=\frac{83-53}{12}=\frac{30}{12}=2.5$
Maths $Z=\frac{74-50}{11} \approx 2.182$
कुल Z-समंक=0.875+2.5+2.182=5.557 $\approx 5.56$
C के लिए Z-समंक
English $Z=\frac{70-55}{16}=0.9375$
Science $Z=\frac{74-53}{12}=1.75$
Maths $Z=\frac{82-50}{11} \approx 2.909$
कुल Z-समंक=0.9375+1.75+2.909=5.5965 $\approx 5.59$
अतः प्रथम,द्वितीय एवं तृतीय स्थान क्रमशः C,B व A को दिए जाने चाहिए।
Example:9.निम्न सारणी में किसी स्कूल के 137 विद्यार्थियों के कुल प्राप्तांक दिए गए हैं:
(The following table gives the total marks obtained by 137 students in a school):
$\begin{array}{|c|c|c|r|r|r|r|r|r|r|r|c|} \hline \multicolumn{12}{|c|}{\text{Digits-Division of class intervals}} \\ \hline \text{Marks} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \text{Total}\\ \hline 80-89 & 1 & 2 & -1 & - & 1 & 2 & 1 & - & - & 2 & 10 \\ 90-99 & 3 & 4 & 5 & 2 & 8 & 6 & 4 & 2 & 5 & 3 & 42 \\ 100-109 & 8 & 5 & 2 & 4 & 2 & 5 & 3 & 1 & 4 & 5 & 39 \\ 110-119 & 7 & 5 & 3 & 3 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & - & 31 \\ 120-129 & 2 & 1 & 1 & 2 & 3 & - & - & 4 & 1 & 1 & 15 \\ \hline \end{array}$
1 विद्यार्थी के प्राप्तांक 80 हैं,2 के 81,1 के 82,8 के 94,4 के 127 और इसी प्रकार…. ।
उक्त प्राप्तांकों से विचरण-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(a)केवल जोड़ों का ही प्रयोग करके,तथा
(b)सम्पूर्ण सामग्री का प्रयोग करके
(1 student get 80 marks,2 get 81,1 get 82,8 get 94,4 get 127 and so, on… From the marks obtained find the coefficient of variation.. (a)using totals only,(b)using the whole data.)
Solution:Calcation Table of Coefficient of Variation
(a)By using totals only
$\begin{array}{|cccccc|} \hline \text{Marks} & \text{Mid-values} & & A=104.5 & & \\ & x & f & d^{\prime}x=x-A & fd^{\prime}x & f {d^{\prime}}^2 x \\ \hline 80-89 & 84.5 & 10 & -2 & -20 & 40 \\ 90-99 & 94.5 & 42 & -1 & -42 & 42 \\ 100-109 & 104.5 & 39 & 0 & 0 & 0 \\ 110-119 & 114.5 & 31 & +1 & +31 & 31 \\ 120-129 & 124.5 & 15 & +2 & +30 & 60 \\ \hline \text { Total } & i=10 & 137 & & -1 & 173 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य $(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d^{\prime} x}{N} \times i \\ =104.5-\frac{1}{137} \times 10 \\ \approx 104.5-0.073 \approx 104.427 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 104.427$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=i \times \sqrt{\frac{\sum f {d^{\prime}}^2 x}{N}-\left(\frac{\sum f d^{\prime} x}{N}\right)^2} \\ =10 \times \sqrt{\frac{173}{137}-\left(\frac{-1}{137}\right)^2} \\ =10 \times \sqrt{\frac{173 \times 137-1}{137^2}} \\ =10 \times \sqrt{\frac{23701-1}{137^2}} \\ =10 \times \sqrt{\frac{23700}{18769}} \\ \approx 10 \times 1.1237 \\ \Rightarrow \sigma \approx 11.237$
C.V.= $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100=\frac{11.237 \times 100}{104.427} \\ \Rightarrow \text{C.V.} \approx 10.76 \%$
(b)by using the whole data
$\begin{array}{|cc|} \hline \text{Digits-Division of class intervals} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Marks} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \\ \hline 80-89 & \begin{array}{ccc} 80 & & \\ & 1 & \\ & & 6400 \end{array} & \begin{array}{ccc} 162 & & \\ & 2 & \\ & & 13122 \end{array} & \begin{array}{ccc} 82 & & \\ & 1 & \\ & & 6724 \end{array} & - & \begin{array}{ccc} 84 & & \\ & 1 & \\ & & 7056 \end{array} & \begin{array}{ccc} 170 & & \\ & 2 & \\ & & 14450 \end{array} & \begin{array}{ccc} 86 & & \\ & 1 & \\ & & 7396 \end{array} & - & - & \begin{array}{ccc} 178 & & \\ & 2 & \\ & & 15842 \end{array} & \\ \hline 90-99 & \begin{array}{ccc} 270 & & \\ & 3 & \\ & & 24300 \end{array} & \begin{array}{ccc} 364 & & \\ & 4 & \\ & & 33124 \end{array} & \begin{array}{ccc} 460 & & \\ & 5 & \\ & & 43320 \end{array} &\begin{array}{ccc} 186 & & \\ & 2 & \\ & & 17298 \end{array} & \begin{array}{ccc} 752 & & \\ & 8 & \\ & & 70688 \end{array} & \begin{array}{ccc} 570 & & \\ & 6 & \\ & & 54150 \end{array} & \begin{array}{ccc} 384 & & \\ & 4 & \\ & & 36864 \end{array} & \begin{array}{ccc} 194 & & \\ & 2 & \\ & & 18818 \end{array} & \begin{array}{ccc} 490 & & \\ & 5 & \\ & & 48020 \end{array} & \begin{array}{ccc} 297 & & \\ & 3 & \\ & & 29403 \end{array} & \\ \hline 100-109 & \begin{array}{ccc} 800 & & \\ & 8 & \\ & & 80000 \end{array} & \begin{array}{ccc} 505 & & \\ & 5 & \\ & & 51005 \end{array} &\begin{array}{ccc} 204 & & \\ & 2 & \\ & & 20808 \end{array} & \begin{array}{ccc} 412 & & \\ & 4 & \\ & & 42436 \end{array} & \begin{array}{ccc} 208 & & \\ & 2 & \\ & & 21632 \end{array} & \begin{array}{ccc} 525 & & \\ & 5 & \\ & & 55125 \end{array} & \begin{array}{ccc} 318 & & \\ & 3 & \\ & & 33708 \end{array} & \begin{array}{ccc} 107 & & \\ & 1 & \\ & & 11449 \end{array} & \begin{array}{ccc} 432 & & \\ & 4 & \\ & & 46656 \end{array} & \begin{array}{ccc} 545 & & \\ & 5 & \\ & & 59405 \end{array} & \\ \hline 110-119 & \begin{array}{ccc} 770 & & \\ & 7 & \\ & & 84700 \end{array} & \begin{array}{ccc} 555 & & \\ & 5 & \\ & & 61605 \end{array} &\begin{array}{ccc} 336 & & \\ & 3 & \\ & & 37632 \end{array} & \begin{array}{ccc} 339 & & \\ & 3 & \\ & & 38307 \end{array} & \begin{array}{ccc} 228 & & \\ & 2 & \\ & & 25992 \end{array} & \begin{array}{ccc} 345 & & \\ & 3 & \\ & & 39675 \end{array} & \begin{array}{ccc} 232 & & \\ & 2 & \\ & & 26912 \end{array} & \begin{array}{ccc} 468 & & \\ & 4 & \\ & & 54756 \end{array} & \begin{array}{ccc} 336 & & \\ & 2 & \\ & & 27848 \end{array} & - & \\ \hline 120-129 & \begin{array}{ccc} 240 & & \\ & 2 & \\ & & 28800 \end{array} & \begin{array}{ccc} 121 & & \\ & 1 & \\ & & 14641 \end{array} &\begin{array}{ccc} 122 & & \\ & 1 & \\ & & 14884 \end{array} & \begin{array}{ccc} 246 & & \\ & 2 & \\ & & 30258 \end{array} & \begin{array}{ccc} 372 & & \\ & 3 & \\ & & 46128 \end{array} & - & - & \begin{array}{ccc} 508 & & \\ & 4 & \\ & & 64516 \end{array} & \begin{array}{ccc} 128 & & \\ & 1 & \\ & & 16384 \end{array} & \begin{array}{ccc} 129 & & \\ & 1 & \\ & & 16641 \end{array} & \text{Total}\\ \hline f & 21 & 17 & 12 & 11 & 16 & 16 & 10 & 11 & 12 & 11 & 137 \\ \hline fx & 2160 & 1707 &1204 & 1183 & 1644 &1610 & 1020 &1277 & 1286 &1149 & 14240\\ \hline fx^2 & 224200 & 173497 & 123368 & 128299 & 171496 & 163400 & 104880 & 149539 & 138908 & 121291 & 1498878 \\ \hline \end{array} \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य $(\overline{X})=\frac{\Sigma f x}{N} \\ =\frac{14240}{137} \approx 103.942 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 103.942$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma f x^2}{N}-(\overline{X})^2} \\ =\sqrt{\frac{1498878}{137}-(103.942)^2} \\ \approx \sqrt{10940.71-10803.40} \\ \approx \sqrt{137.31} \\ \approx 11.717 \\ \Rightarrow \sigma \approx 11.717$
C.V.= $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100=\frac{11.717 \times 100}{103.942} \\ =\frac{1171.7}{103.942} \\ \Rightarrow \text{C.V.} \approx 11.27 \%$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Variance and Standard Deviation),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) को समझ सकते हैं।

Variance and Standard Deviation

Also Read This Article:- Standard Deviation and Variance

3.प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Frequently Asked Questions Related to Variance and Standard Deviation),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्रमाप विचलन का सूत्र लिखो। (Write the Formula of the Standard Deviation):

(1.)प्रत्यक्ष विधि $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{N}}$ (व्यक्तिगत श्रेणी)
(2.)लघु विधि $\sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma fd x}{N}\right)^2} \\ \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma f x^2}{N}-(\overline{X})^2}$ (खण्डित एवं सतत श्रेणी)

प्रश्न:2.विचरण गुणांक का सूत्र लिखो। (Write the Formula of Coefficient of Variation):

उत्तर: विचरण गुणांक= $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100$

प्रश्न:3.सम्बन्ध तथा संकेन्द्रण गुणांक का सूत्र लिखो। (Write the Formulas of Empirical Relationship and Gini’s Coefficient of Concentration):

उत्तर: Q.D.= $\frac{2}{3} \sigma$
(2.)गिनी का संकेन्द्रण गुणांक (Gini’s Coefficient of Concentration)G= $\frac{\Delta_1 }{2 \overline{X}}$
जहाँ Gini’s M.D. $\Delta_1=\frac{\Sigma \Delta}{n}$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रसरण एवं प्रमाप विचलन (Variance and Standard Deviation),प्रमाप विचलन एवं विचरण गुणांक (Coefficient of Standard Deviation and Variation) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

No.	Social Media	Url
1.	Facebook	click here
2.	you tube	click here
3.	Instagram	click here
4.	Linkedin	click here
5.	Facebook Page	click here
6.	Twitter	click here
7.	Twitter	click here

Variance and Standard Deviation

प्रसरण एवं प्रमाप विचलन
(Variance and Standard Deviation)