1.संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 (Ratios of Compound Angles Class 11),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Compound Angles):

Ratios of Compound Angles Class 11

संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 (Ratios of Compound Angles Class 11) के इस आर्टिकल में दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Ratios of Compound Angles Class 11 Solved Illustrations):

Illustration:1.निम्नलिखित को योग एवं अन्तर के रूप में व्यक्त कीजिए:
Illustration:1(i). 2 \sin 5 \theta \cos \theta
Solution: 2 \sin 5 \theta \cos \theta \\ =\sin (5 \theta+\theta)+\sin (5 \theta-\theta)
[सूत्र 2 \sin A \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B) से]
=\sin 6 \theta+\sin 4 \theta
Illustration:1(ii). 2 \sin 3 \theta \sin \theta
Solution: 2 \sin 3 \theta \sin \theta \\ \cos (3 \theta-\theta)-\cos (3 \theta+\theta)
[सूत्र 2 \sin A \sin B=2 \cos (A-B)-\cos (A+B) से]
=\cos 2 \theta-\cos 4 \theta
Illustration:1(iii). 2 \cos 4 \theta \cos 3 \theta
Solution: 2 \cos 4 \theta \cos 3 \theta \\=\cos (4 \theta+3 \theta)+\cos (4 \theta-3 \theta)
[सूत्र 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B) से]
\cos 7 \theta+\cos \theta
Illustration:1(iv). 2 \sin 3 \theta \cos 2 \theta
Solution: 2 \sin 3 \theta \cos 2 \theta \\ =\sin (3 \theta+2 \theta)+\sin (3 \theta-2 \theta)
[सूत्र 2 \sin A \cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B) से]
=\sin 5 \theta+\sin \theta
Illustration:2.निम्नलिखित को गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
Illustration:2(i). \cos 4 \theta+\cos 8 \theta
Solution: \cos 4 \theta+\cos 8 \theta \\ =2 \cos \left(\frac{4 \theta+8 \theta}{2}\right) \cos \left(\frac{4 \theta-8 \theta}{2}\right) \\ =2 \cos 6 \theta \cos 2 \theta
[सूत्र \cos C+\cos D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right) से]
Illustration:2(ii). \cos 6 \theta-\cos 8 \theta
Solution: \cos 6 \theta-\cos 8 \theta \\ =2 \sin \left(\frac{6 \theta+8 \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{8 \theta-6 \theta}{2}\right)
[सूत्र \cos C-\cos D=2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{D-C}{2}\right) से]
=2 \sin 7 \theta \sin \theta
Illustration:2(iii). \sin 3 \theta-\sin \theta
Solution: \sin 3 \theta-\sin \theta \\ =2 \cos \left(\frac{3 \theta+\theta}{2}\right) \sin \left(\frac{3 \theta-\theta}{2}\right)
[सूत्र \sin C-\sin D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right) से]
=2 \cos 2 \theta \cdot \sin \theta
Illustration:2(iv). \sin 6 \theta-\sin 2 \theta
Solution: \sin 6 \theta-\sin 2 \theta \\ =2 \cos \left(\frac{6 \theta+2 \theta}{2}\right) \sin \left(\frac{6 \theta-2 \theta}{2}\right)
[सूत्र \sin C-\sin D=2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right) से]
=2 \cos 4 \theta \sin 2 \theta
सिद्ध कीजिए कि [प्रश्न 3 से 7]
Illustration:3. \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 70^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{16}
Solution: \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 70^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \\ \text {L.H.S.} \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 70^{\circ} \\ =\frac{1}{2}\left(2 \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \right) \sin 60^{\circ} \sin 70^{\circ} \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(50^{\circ}-10^{\circ}\right)-\cos \left(50^{\circ}+10^{\circ}\right)\right] \times \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 70^{\circ}\\ =\frac{\sqrt{3}}{4} \left(\cos 40^{\circ}-\cos 60^{\circ}\right) \sin 70^{\circ} \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\cos 40^{\circ} \sin 70^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 70^{\circ}\right) \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2} \cdot 2 \cos 40^{\circ} \sin 70^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 70^{\circ}\right) \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\sin \left(70^{\circ}+40^{\circ}\right) +\sin \left(70^{\circ}-40^{\circ}\right)-\sin 70^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\sin 110^{\circ}+\sin 30^{\circ}-\sin 70^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\sin \left(180^{\circ}-70^{\circ}\right)+\frac{1}{2}-\sin 70^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\sin 70^{\circ}+\frac{1}{2}-\sin 70^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{16}=R.H.S. 
Illustration:4. \cos 10^{\circ} \cos 30^{\circ} \cos 50^{\circ} \cos 50^{\circ}=\frac{3}{16}
Solution: \cos 10^{\circ} \cos 30^{\circ} \cos 50^{\circ} \cos 370^{\circ}=\frac{3}{16} \\ \text{ R.H.S.} \cos 10^{\circ} \cos 30^{\circ} \cos 50^{\circ} \cos 70^{\circ} \\ =\frac{1}{2} \times 2 \cos 10^{\circ} \cos 55^{\circ} \cos 30^{\circ} \cos 70^{\circ} \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(10^{\circ}+50^{\circ}\right)+\cos \left(50^{\circ} -10^{\circ}\right)\right] \times \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 70^{\circ} \\=\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\cos 60^{\circ}+ \cos 40^{\circ}\right] \cos 70^{\circ} \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{1}{2}+\cos 40^{\circ}\right] \cos 70^{\circ} \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{1}{2} \cos 70^{\circ}+\cos 40^{\circ} \cos 70^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}\left[\frac{1}{2} \cos 70^{\circ}+\frac{1}{2} \times 2 \cos 40^{\circ} \cos 70^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\cos 70^{\circ}+\cos \left(40^{\circ}+70^{\circ}\right)+\cos \left(70^{\circ}- 40^{\circ} \right)\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\cos 70^{\circ}+\cos 110^{\circ}+\cos 30^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\cos 70^{\circ}+\cos \left(180^{\circ}-70^{\circ}\right)+\cos 30^{\circ}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}}{8}\left[\cos 70^{\circ}-\cos 70^{\circ}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \\ =\frac{3}{16}= R.H.S.
Illustration:5. \frac{\cos 4 A+\cos 3 A+\cos 2 A}{\sin 4 A+\sin 3 A+\sin 2 A}=\cot 3 A
Solution: \frac{\cos 4 A+\cos 3 A+\cos 2 A}{\sin 4 A+\sin 3 A+\sin 2 A}=\cot 3 A\\ \text { L.H.S.} \frac{\cos 4 A+\cos 3 A+\cos 2 A}{\sin 4 A+\sin 3 A+\sin 2 A} \\ = \frac{\cos 4 A+\cos 2 A+\cos 3 A}{\sin 4 A+\sin 2 A+\sin 3 A} \\ = \frac{2 \cos \left(\frac{4 A+2 A}{2}\right) \cos \left(\frac{4 A-2 A}{2}\right)+\cos 3 A}{2 \sin \left(\frac{4 A+2 A}{2}\right) \cos \left(\frac{4 A-2 A}{2}\right)+\sin 3 A} \\ = \frac{2 \cos 3 A \cos A+\cos 3 A}{2 \sin 3 A \cos A+\sin 3 A} \\ =\frac{\cos 3 A(2 \cos A+1)}{\sin 3 A(2 \cos A+1)} \\ =\cot 3 A=R.H.S.

Ratios of Compound Angles Class 11

Illustration:6. \frac{\sin 5 A \cos 2 A-\sin 6 A \cos A} {\sin A \sin 2 A-\cos 2 A \cos A}=\tan A
Solution: \frac{\sin 5 A \cos 2 A-\sin 6 A \cos A} {\sin A \sin 2 A-\cos 2 A \cos A}=\tan A \\ \text { L.H.S. } \frac{\sin 5 A \cos 2 A-\sin 6 A \cos A} {\sin A \sin 2 A-\cos 2 A \cos A} \\ =\frac{2 \sin 5 A \cos 2 A-2 \sin 6 A \cos A}{2 \sin A \sin 2 A-2 \cos 2 A \cos 3 A} \\ =\frac{[\sin (5 A+2 A)+\sin (5A-2A)-[\sin (6 A+A)+\sin (6 A-A)]}{\cos (2 A-A)-\cos (2 A+A)-[\cos (2 A+3 A)+\cos (2 A-3 A)]} \\ =\frac{\sin 7 A+\sin 3 A-\sin 7 A-\sin 5 A}{\cos A-\cos 3 A-\cos 5 A-\cos  A} \\ =\frac{\sin 3 A-\sin 5 A}{-\cos 3 A-\cos 5 A} \\ =\frac{2 \cos \left(\frac{3 A+5 A}{2}\right) \sin \left(\frac{3 A-5 A}{2}\right)}{-2 \cos \left(\frac{3 A+5 A}{2}\right) \cos \left(\frac{5 A-3 A}{2}\right)} \\ =\frac{-2 \cos 4 A \sin A}{-2 \cos 4 A \cos A} \\ =\tan A= R.H.S. 
Illustration:7(i). (\sin 3 A+\sin A) \sin A +(\cos 3 A-\cos A) \cos A=0
Solution: (\sin 3 A+\sin A) \sin A +(\cos 3 A-\cos A) \cos A=0 \\ \text{L.H.S } (\sin 3 A+\sin A) \sin A+(\cos 3 A-\cos A) \cos A \\ =2 \sin \left(\frac{3 A+A}{2}\right) \cos \left(\frac{3 A-A}{2}\right) \sin A+ 2 \sin \left(\frac{3 A+A}{2}\right) \sin \left(\frac{A-3 A}{2}\right) \cos A \\ =2 \sin 2 A \cos A \sin A-2 \sin 2 A \sin A \cos A \\ =0=R.H.S.
Illustration:7(ii). \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}-\cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}=\sin 5 \theta \cdot \sin \frac{5 \theta}{2}
Solution: \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}-\cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}=\sin 5 \theta \cdot \sin \frac{5 \theta}{2} \\ \text { L.H.S. } \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}- \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2} \\ =\frac{1}{2}\left[2 \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}-2 \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(2 \theta+\frac{\theta}{2}\right)+\cos \left(2 \theta-\frac{\theta}{2}\right)\right]-\frac{1}{2}\left[\cos \left(3 \theta+\frac{9 \theta}{2}\right)+\cos \left(3 \theta-\frac{9 \theta}{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \frac{5 \theta}{2}+\cos \left(\frac{3 \theta}{2}\right)\right]-\frac{1}{2}\left[\cos \frac{15 \theta}{2}+\cos \left(\frac{3 \theta}{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{2} \cos \left(\frac{5 \theta}{2}\right)+\frac{1}{2} \cos \left(\frac{3 \theta}{2}\right)-\frac{1}{2} \cos \left( \frac{15 \theta}{2} \right)-\frac{1}{2} \cos \left(\frac{3 \theta}{2}\right) \\ =\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{5 \theta}{2}\right)-\cos \left(\frac{15 \theta}{2}\right)\right] \\ =\frac{1}{2} \times 2 \sin \left(\frac{\frac{5 \theta}{2}+\frac{15 \theta}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{15 \theta}{2}-\frac{5 \theta}{2}}{2}\right) \\ =\sin 5 \theta \sin \left(\frac{5 \theta}{2}\right)=R.H.S.
Illustration:7(iii). \sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)=0
Solution:\sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)=0 \\ \text { L.H. S. } \sin \theta+\sin \left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right) \\ =\sin \theta+\sin \left(120^{\circ}+\theta\right)+\sin \left(240^{\circ}+\theta\right) \\ =\sin \theta+\sin \left(90^{\circ}+30^{\circ}+\theta\right)+\sin \left(180^{\circ}+60^{\circ}+\theta\right) \\ =\sin \theta+\cos \left(30^{\circ}+\theta\right)-\sin \left(60^{\circ}+\theta\right) \\ =\sin \theta+\cos 30^{\circ} \cos \theta-\sin 30^{\circ} \sin \theta-\sin 60^{\circ} \cos \theta-\cos 60^{\circ} \sin \theta \\ =\sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta-\frac{1}{2} \sin \theta-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta -\frac{1}{2} \sin \theta \\ =\sin \theta-\sin \theta =0= R.H.S.
Illustration:8.यदि A एवं B न्यून कोण हो,एवं \sin (A+B)=1 ; \sin (A-B)=\frac{1}{2} हो तो सिद्ध कीजिए:
Solution: \sin (A+B)=1 \\ \sin (A+B)=\sin 90^{\circ} \Rightarrow A+B=90^{\circ} \cdots(1) \\ \sin (A-B)=\frac{1}{2} \\ \sin (A-B)=\sin 30^{\circ} \Rightarrow A-B=30^{\circ} \cdots(2)
(1) व (2) को हल करने परः
2 A =120^{\circ} \Rightarrow A=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ} \\ B=30^{\circ}
Illustration:8(i). \tan (A+2 B)=-\sqrt{3}
Solution: \tan (A+2 B)=-\sqrt{3} \\ \text { L. H.S. } \tan (A+2 B) \\=\tan \left(60^{\circ}+2 \times 30^{\circ}\right)=\tan 120^{\circ} \\=\tan \left(90^{\circ}+30^{\circ}\right)=-\cot 30^{\circ}=-\sqrt{3} =R.H.S.
Illustration:8(ii). \tan (2 A+B)=-\frac{1}{\sqrt{3}}
Solution: \tan (2 A+B)=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \text { L.H.S. } =\tan (2 A+B) \\ =\tan \left(2 \times 60^{\circ}+30^{\circ}\right)=\tan 150^{\circ} \\ =\tan \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)=-\tan 30^{\circ}=-\frac{1}{\sqrt{3}} =R.H.S.
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 (Ratios of Compound Angles Class 11),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Compound Angles) को समझ सकते हैं।

3.संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Ratios of Compound Angles Class 11):

Ratios of Compound Angles Class 11

(1.)सिद्ध कीजिए: \sin 20^{\circ} \sin 40^{\circ} \cdot \sin 60^{\circ} \sin 80^{\circ}=\frac{3}{16}
(2.)सिद्ध कीजिए: \frac{\sin 11 \theta \sin \theta+\sin 7 \theta \sin 3 \theta}{\cos 11 \theta \sin \theta+\cos 7 \theta \sin 3 \theta}=\tan 8 \theta
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 (Ratios of Compound Angles Class 11),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Compound Angles) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Ratios of Compound Angles Class 11),संयुक्त कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios of Compound Angles) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

संयुक्त कोणों के अनुपात कक्षा 11 (Ratios of Compound Angles Class 11) के इस आर्टिकल
में दो कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।