1.आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता (Probability in Quantitative Aptitude),प्रायिकता (Probability):

Probability in Quantitative Aptitude

आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता (Probability in Quantitative Aptitude) के इस आर्टिकल में प्रायिकता से सम्बन्धित विभिन्न प्रकार के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता के उदाहरण (Probability in Quantitative Aptitude Illustrations):

Illustration:1.दो सिक्कों को एकसाथ उछालने पर दो पट आने की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{1}{2} (b) \frac{1}{4} (c) \frac{3}{4} (d) \frac{1}{3}
Solution:S={HH,HT,TH,TT}
n(S)=4 तथा n(E)=1
अत: P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{4}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:2.दो सिक्कों को एकसाथ उछालने पर पट आने की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{1}{2}  (b) \frac{1}{4} (c) \frac{3}{4} (d)इनमें से कोई नहीं
Solution:S={HH,HT,TH,TT}
n(S)=4 तथा n(E)=3
P(E)=\frac{3}{4}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:3.दो सिक्कों को एकसाथ उछालने पर कोई भी पट न आने की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{3}{4} (b) \frac{1}{2} (c) \frac{1}{4} (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:S={HH,HT,TH,TT}
n(S)=4 तथा n(E)=1
P(E)=\frac{1}{4}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:4.दो पासों को एकसाथ फेंकने में कुल योग 5 या 3 आने की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{1}{3} (b) \frac{2}{3} (c) \frac{1}{6} (d) \frac{5}{6}
Solution: n(S)=6^2=36
E={(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}
n(E)=6
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:5.यदि चार सिक्के एकसाथ उछाले जाते हैं,तो दो पट आने की क्या प्रायिकता होगी?
(a) \frac{1}{16} (b) \frac{1}{8} (c) \frac{3}{8} (d) \frac{5}{16}
Solution: n(S)=2^4=16
E={HHTT,HTHT,HTTH,THTH,TTHH,THHT}
n(E)=6
P(E)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:6.यदि तीन सिक्के एकसाथ उछाले जाते हैं,तो कोई भी चित नहीं आने की प्रायिकता क्या है?
(a) \frac{3}{8} (b) \frac{1}{8} (c) \frac{1}{2} (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
n(S)=8 तथा n(E)=1
अतः P(E)=\frac{1}{8}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:7.’SOCIETY’ शब्द के अक्षरों को एक पंक्ति में रखा जाता है।तीन स्वर एकसाथ होने की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{4}{7} (b) \frac{3}{7} (c) \frac{2}{7} (d) \frac{1}{7}
Solution:SOCIETY शब्द के तरीकों की संख्या=5! \times 3!
अभीष्ट प्रायिकता=\frac{5! \times 3!}{7!} \\ =\frac{5!\times 3 \times 2 \times 1}{7 \times 6 \times 5!}=\frac{1}{7}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:8.एक पुस्तक में दिए गए 90% प्रश्नों को A हल कर सकता है और B 70% को।यदृच्छया चुने गए प्रश्नों को,दोनों में से कम से कम एक,हल कर लेगा,उसकी प्रायिकता क्या होगी?
(a) \frac{3}{100} (b) \frac{97}{100} (c) \frac{83}{100} (d) \frac{17}{100}
Solution: P(A)=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}, P(B)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10} \\ P(\bar{A})=1-\frac{90}{100}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}, P(\bar{B})=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}
P(दोनों में से कम-से-कम एक हल कर लेगा)=P(A \bar{B})+P(\bar{A} B)+P(A B) \\ =P(A) \cdot P(\bar{B})+P(\bar{A}) \cdot P(B)+P(A) \cdot P(B) \\ =\frac{9}{10} \times \frac{3}{10}+\frac{1}{10} \times \frac{7}{10}+\frac{9}{10} \times \frac{7}{10} \\ =\frac{27}{100}+\frac{7}{100}+\frac{63}{100}=\frac{97}{100}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:9.बर्तन A में 4 लाल और 3 काली गेंद है।बर्तन B में 5 लाल और 3 काली गेंद हैं।बर्तन C में 4 लाल और 3 काली गेंद है।तीनों बर्तनों में से एक-एक गेंद निकाली जाती है।2 लाल और 1 काली गेंद के निकलने की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{17}{42} (b) \frac{25}{42} (c) \frac{19}{42} (d) \frac{23}{42} (e) इनमें से कोई नहीं
Solution: E_1=बर्तन A से लाल गेंद निकालने की घटना
E_2=बर्तन B से लाल गेंद निकालने की घटना
E_3=बर्तन C से लाल गेंद निकालने की घटना
P\left(E_1\right)=\frac{4}{7}, P\left(\bar{E}_1\right)=\frac{3}{7}, P\left(E_2\right)=\frac{5}{8}, P\left(\bar{E}_2\right)=\frac{3}{8} \\ P\left(E_3\right)=\frac{4}{7}, P\left(\bar{E}_3\right)=\frac{3}{7}
अभीष्ट प्रायिकता=P\left(E_1 \bar{E}_2 E_3\right)+P\left(\bar{E}_1 E_2 E_3\right)+P\left(E_1 E_2 \bar{E}_3\right) \\ =P\left(E_1\right) \cdot P\left(\bar{E}_2\right) \cdot P\left(E_3\right) + P\left( \bar{E_1}\right) \cdot P\left(E_2\right) P\left(E_3\right) +P\left(E_1\right) \cdot P\left(E_2\right) \cdot P\left(\bar{E}_3\right) \\ =\frac{4}{7} \times \frac{3}{8} \times \frac{4}{7}+\frac{3}{7} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7}+\frac{4}{7} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} \\ =\frac{6}{49}+\frac{15}{98}+\frac{15}{98}=\frac{12+15+15}{98} \\ =\frac{42}{98}=\frac{3}{7}
विकल्प (e) सही है।
Illustration:10.यदि दो पासे एकसाथ फेंके जाते हैं,तो योग न तो 9 हो न ही 11,की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{1}{6} (b) \frac{5}{6} (c) \frac{2}{3} (d) \frac{1}{2}
Solution: n(S)=6^2=36
E={(4,5),(5,4),(6,5),(5,6),(6,3),(3,6)}
n(E)=6
P(\bar{E})=1-P(E)=1-\frac{6}{36}=\frac{36-6}{36} \\ =\frac{30}{36} \\ \Rightarrow P(\bar{E})=\frac{5}{6}
विकल्प (b) सही है।
निर्देश (प्र.सं. 11-14) एक बर्तन में 1 से 25 तक नम्बर पड़ी हुई 25 गेंद है।यदि विषम संख्या को ‘सफलता’ माना जाए और बर्तन में से दो गेंद निकालने के बाद वापस रख दी जाएँ,तो
Illustration:11.दो सफलताओं की प्रायिकता क्या है?
(a) \frac{169}{625} (b) \frac{312}{625} (c) \frac{481}{625} (d) \frac{144}{625}
Solution: P(E)=\frac{13}{25}, P(\bar{E})=1-\frac{13}{25}=\frac{12}{25} \\ P(E E)=P(E) \cdot P(E)=\frac{13}{25} \times \frac{13}{25}=\frac{169}{625}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:12.कम-से-कम एक सफलता की प्रायिकता हैः
(a) \frac{169}{625} (b) \frac{312}{625} (c) \frac{481}{625} (d) \frac{144}{625}
Solution:P(कम-से-कम एक सफलता)=P(EE)+P(\bar{E} E)+P(E \bar{E}) \\ =P(E) \cdot P(E)+P(\bar{E}) \cdot P(E)+P(E) \cdot P(\bar{E}) \\ =\frac{13}{25} \times \frac{13}{25}+\frac{12}{25} \times \frac{13}{25}+\frac{13}{25} \times \frac{12}{25} \\ =\frac{169+156+156}{625}=\frac{481}{625}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:13.तीन सफलताओं की प्रायिकता हैः
(a) \frac{1}{27} (b) \frac{2}{9} (c) \frac{26}{27} (d) \frac{7}{27}
Solution: P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, P(\bar{E})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
\therefore P(तीन सफलता)=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{27}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:14.कम-से-कम दो सफलताओं की प्रायिकता हैः
(a) \frac{1}{27} (b) \frac{2}{9} (c) \frac{26}{27} (d) \frac{7}{27}
Solution:P(कम-से-कम दो सफलता)=P(E E \bar{E})+P(E \bar{E} E)+P(\bar{E} EE)+P(E E E) \\ = P(E) \cdot P(E) \cdot P(\bar{E})+P(E) \cdot P(\bar{E}) \cdot P(E) +P(\bar{E}) \cdot P(E) \cdot P(E)+P(E) \cdot P(E) \cdot P(E) \\ =\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \\ =\frac{2}{27}+\frac{2}{27}+\frac{2}{27}+\frac{1}{27}=\frac{7}{27}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:15.एक विद्यार्थी A,B,C और D श्रेणी मिलने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.30,0.38,0.22 और 0.01 है।विद्यार्थी को कम-से-कम B श्रेणी मिलने की प्रायिकता क्या है?
(a) 0.38 (b) 0.42 (c) 0.68 (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:P(कम-से-कम B श्रेणी)=P(B श्रेणी)+P(A श्रेणी)
=0.38+0.30=0.68
विकल्प (c) सही है।

Probability in Quantitative Aptitude

Illustration:16.एक घुड़दौड़ में घोड़े A,B,C और D के जीतने के संयोगानुपात क्रमशः 1:3,1:4,1:5 और 1:6 है।किसी एक घोड़े के जीतने की प्रायिकता क्या है?
(a) \frac{221}{420} (b) \frac{391}{420} (c) \frac{331}{420} (d) इनमें से कोई नहीं
Solution: P(A)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{5}, P(C)=\frac{1}{6}, P(D)=\frac{1}{7}
P(किसी एक घोड़े का जीतना)=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\frac{210+168+140+120}{840} \\ =\frac{638}{840}=\frac{319}{420}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:17.अधिवर्ष को यदृच्छया चुनने पर,उस वर्ष के 53 रविवार हो इसकी प्रायिकता क्या है?
(a)\frac{1}{7} (b) \frac{2}{7} (c) \frac{3}{7} (d) \frac{4}{7}
Solution:n(S)=7 तथा n(E)=2
P(53 रविवार होना)=\frac{2}{7}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:18.दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं।योग 4 आने का संयोगानुपात क्या है?
(a) 1: 11 (b) 11: 1 (c) 4: 11 (d) 11: 4
Solution: n(S)=6^2=36
E={(1,3),(3,1),(2,2)},n(E))=3
P(E)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}
संयोगानुपात= \frac{1}{12}: \frac{11}{12}=1: 11
विकल्प (a) सही है।
Illustration:19.पहली 200 प्राकृतिक संख्याओं में से एक पूर्णांक यदृच्छया चुना जाता है।उस पूर्णांक के 6 या 8 से विभाजित होने की क्या प्रायिकता है?
(a) \frac{1}{4} (b) \frac{3}{4} (c) \frac{1}{2} (d) इनमें से कोई नहीं
Solution: A=\frac{200}{6} \approx 33, B=\frac{200}{8}=25 \\ A \cap B=\frac{200}{LCM(6,8)} =\frac{200}{24} \approx 8 \\ P(A)=\frac{33}{200}, P(B)=\frac{25}{200}, P(A \cap B)=\frac{8}{200} \\ P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ =\frac{33}{200}+\frac{25}{200}-\frac{8}{200}=\frac{50}{200}=\frac{1}{4}
विकल्प (a) सही है।
निर्देश (प्र. सं. 20-24) दो पासों को एकसाथ फेंकने पर निम्न प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
Illustration:20.योग अभाज्य संख्या होः
(a) \frac{5}{12} (b)\frac{1}{2} (c)\frac{7}{12} (d) \frac{3}{4}
Solution: S=6^2=36
E={(1,2),(2,1),(1,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(4,3),(3,4),(6,5),(5,6)}
n(E)=15
P(E)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:21.योग 7 से अधिक होः
(a) \frac{1}{12} (b) \frac{1}{6} (c) \frac{1}{4} (d) \frac{5}{12}
Solution:E={(4,4),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,6),(5,5),(2,6),(6,2),(6,3),(3,6),(6,4),(4,6)}
n(E)=15,n(S)=36
P(E)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:22.योग जो विषम संख्या होः
(a) \frac{1}{36} (b) \frac{1}{4} (c) \frac{1}{3} (d) \frac{1}{2}
Solution:n(S)=36
E={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(1,4),(4,1),(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)}
n(E)=18
P(E)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:23.योग जो सम संख्या होः
(a) \frac{1}{36} (b) \frac{1}{4} (c) \frac{1}{2} (d) \frac{1}{3}
Solution:n(S)=36
E={(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3),(4,4),(4,6),(6,4),(5,5),(6,6)}
n(E)=18
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:24.यदि तीन पासों को एक साथ एक बार फेंका जाए,तो योग 17 या 18 आने की प्रायिकता क्या है?
(a) \frac{1}{54} (b) \frac{1}{27} (c) \frac{1}{18} (d) इनमें से कोई नहीं
Solution: n(S)=6^3=216
E={(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5),(6,6,6)},n(E)=4
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{216}=\frac{1}{54}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:25.यदि PENCIL शब्द के अक्षर यदृच्छया रखे जाएँ,तो उस व्यवस्था की क्या प्रायिकता है,जिसमें N सदैव E के बाद में हो?
(a) \frac{1}{6} (b) \frac{5}{6} (c) \frac{1}{3} (d) \frac{2}{3}
Solution:n(S)=कुल तरीकों की संख्या=6!
n(E)=E के बाद N आने के कुल तरीके=5!
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5!}{6!}=\frac{5!}{6 \times 5!} \\ \Rightarrow P(E)=\frac{1}{6}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:26.तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं।प्रत्येक सिक्के पर एक ही पहलू आने की सम्भावना क्या है?
(a) \frac{1}{4} (b) \frac{7}{8} (c)\frac{1}{8} (d) \frac{3}{4}
Solution: n(S)=2^3=8
E={(HHH),(TTT)},n(E)=2
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:27.एक सिक्का बारी-बारी से तीन बार उछाला जाता है।पहली बार शीर्ष,दूसरी बार पट तथा तीसरी बार शीर्ष आने की क्या सम्भावना है?
(a) \frac{1}{8} (b) \frac{7}{8} (c) \frac{3}{8} (d) \frac{5}{8}
Solution:n(S)=8,n(E)=1
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{8}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:28.तीन समान आकार (सदृश्य) पासों को लुढ़काने पर प्रत्येक पर एक ही संख्या दिखने की प्रायिकता क्या होगी?
(a) \frac{1}{36} (b) \frac{1}{6} (c) \frac{1}{18} (d) \frac{1}{12}
Solution: n(S)=6^3=216
E={(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)},n(E)=6
P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}
विकल्प (a) सही है।
Illustration:29.52 पत्तों की ताश की गड्डी से निकाले गए दो पत्तों के इक्के होने की प्रायिकता क्या है?
(a) \frac{3}{442} (b) \frac{1}{442} (c) \frac{2}{221} (d) \frac{1}{221}
Solution:अभीष्ट प्रायिकता=\frac{{}^4 C_2}{{}^{52} C_2}=\frac{4 \times 3}{2} \times \frac{2}{52 \times 51} \\ =\frac{1}{221}
विकल्प (d) सही है।
Illustration:30.ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया।इसके चिड़िया या इक्का होने की सम्भावना क्या है?
(a) \frac{8}{13} (b) \frac{2}{7} (c) \frac{1}{4} (d) \frac{4}{13}
Solution: P(A)=\frac{13}{52} ; P(B)=\frac{4}{52} \quad n(A \cap(B)=1 \\ P(A \cap B)=\frac{1}{52} \\ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \Rightarrow P(A \cup B)=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}
विकल्प (d) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता (Probability in Quantitative Aptitude),प्रायिकता (Probability) को समझ सकते हैं।

3.आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता में प्रायिकता पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Probability in Quantitative Aptitude):

Probability in Quantitative Aptitude

(1.)ताश की गड्डी से चार पत्ते निकाले गए।चारों के अलग-अलग प्रकार आने की प्रायिकता क्या है?
(a) \frac{1}{4} (b) \frac{2197}{4165} (c) \frac{169}{20825} (d) \frac{2197}{20825}
(2.)एक टोकरी में 2 दर्जन केले हैं,जिसमें दो तिहाई सड़े हैं।यदि टोकरी से 3 केले निकाले गए तो कम-से-कम 2 के अच्छे होने की प्रायिकता क्या है?
(a) \frac{95}{257} (b) \frac{190}{257} (c) \frac{190}{253} (d) \frac{95}{253}
उत्तर (Answers):(1.) (d) (2.) (c)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता (Probability in Quantitative Aptitude),प्रायिकता (Probability) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता (Frequently Asked Questions Related to Probability in Quantitative Aptitude),प्रायिकता (Probability) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आंकिक अभियोग्यता में प्रायिकता (Probability in Quantitative Aptitude) के इस आर्टिकल
में प्रायिकता से सम्बन्धित विभिन्न प्रकार के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।