Numerical Solution by Euler Method
1.ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Euler Method),ऑयलर विधि द्वारा साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Method):
ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Euler Method) के इस आर्टिकल में साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल पर आधारित सवालों को ऑयलर विधि से हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल के साधित उदाहरण (Numerical Solution by Euler Method Solved Illustrations):
Illustration:1.दिया हुआ है \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}, ;जहाँ x=0 पर y=1 तब x=0.1 पर y का सन्निकट मान ऑयलर विधि से पाँच चरणों में ज्ञात कीजिए।
(Given \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}, with y=1 for x=0 then find y approximately for x=0.1 by Euler’s method in five steps.)
Solution:यहाँ h=0.02,n=5 , x_0=0, y_0=1
तथा \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}=f(x, y)
अतः y_1=y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =1+(0.02) f(0,1) \\ =1+(0.02)\left(\frac{1-0}{1+0}\right) \\ y_1=1+0.02=1.02 \\ y_2=y_1+h f\left(x_0+h, y_1\right) \\ =1.02+0.02 \frac{1.02-0.02}{1.02+0.02} \\ =1.02+0.02 \times \frac{1}{1.04} \\ =1.02+0.02 \times 0.96153 \\ \Rightarrow y_2 =1.03923 \\ y_3=y_2+h f\left(x_0+2 h, y_2\right) \\ =1.03923+(0.02)(0+2 \times 0.02,1.03923) \\ =1.03923+(0.02)(0.04,1.03923) \\ =1.03923+(0.02) \frac{1.03923-0.04}{1.03923+0.04} \\ =1.03923+(0.02) \times \frac{0.99923}{1.07923} \\ \approx 1.03923+0.02 \times 0.92587 \\ \approx 1.03923+0.01851 \\ \Rightarrow y_3 \approx 1.05774 \\ y_4=y_3+h f\left(x_0+3 h, y_3\right) \\ =1.05774+(0.02) f(0+3 \times 0.02,1.05774) \\ =1.05774+(0.02) f(0.06,1.05774) \\ =1.05774+(0.02) \frac{1.05774-0.06}{1.05774+0.06} \\ =1.05774+(0.02) \times \frac{0.99774}{1.11774} \\ \approx 1.05774+0.02 \times 0.89264 \\ \approx 1.05774+0.01785 \\ \Rightarrow y_4 \approx 1.07559 \\ y_5=y_4+h f\left(x_0+4 h, y_4\right) \\ =1.07559+(0.02) f(0+4 \times 0.02,107559) \\ =1.07559+(0.02) f(0.08,1.07559) \\ =1.07559+(0.02) \times \frac{1.07559-0.08}{1.07559+0.08} \\ =1.07559+0.02 \times \frac{0.99559}{1.15559} \\ \approx 1.07559+0.02 \times 0.86154 \\ \approx 1.07559+0.01723 \\ \Rightarrow y_5 \approx 1.0928
Illustration:2.ऑयलर विधि के प्रयोग में प्रारम्भिक मान समस्या \frac{d y}{d x}=x y, y(0)=1 का हल x=0.4 पर ज्ञात कीजिए,जबकि पद लम्बाई 0.1 हो।
(Using Euler’s method,find the solution of initial value problem \frac{d y}{d x}=x y, y(0)=1 at x=0.4,when step-size is 0.1.)
Solution:यहाँ h=0.1 , n=4, x_0=0, y_0=1
तथा \frac{d y}{d x}=f(x, y)=x y
अतः y_1=y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =1+(0.1) f(0,1) \\ =1+(0.1)(0 \times 1) \\ \Rightarrow y_1=1 \\ y_2=y_1+h f\left(x_0+h, y_1\right) \\ =1+(0.1) f(0+0.1,1) \\ =1+(0.1)(0.1 \times 1) \\ =1+0.1 \times 0.1 \\ =1+0.01 \\ \Rightarrow y_2=1.01 \\ y_3=y_2+h f\left(x_0+2 h, y_2\right) \\ =1.01+(0.1) f(0+2 \times 0.1,1.01) \\ =1.01+(0.1) f(0.2,1.01) \\ =1.01+0.1 \times(0.2 \times 1.01) \\ =1.01+0.1 \times 0.202 \\ =1.01+0.0202 \\ \Rightarrow y_3=1.0302 \\ y_4=y_3+h f\left(x_0+3 h, y_3\right) \\ =1.0302+(0.1) f(0+3 \times 0.1,1.0302) \\ =1.0302+(0.1) f(0.3,1.0302) \\ =1.0302+0.1 \times(0.3 \times 1.0302) \\ =1.0302+0.1 \times 0.30906 \\ =1.0302+0.030906 \\ \Rightarrow y_4=1.061106
Illustration:3.ऑयलर के प्रयोग से प्रारम्भिक मान समस्या \frac{d y}{d x}=1+y^2, y(0)=0 का हल x=1 पर ज्ञात कीजिए,जबकि पद लम्बाई 0.2 है।
(Using Euler’s method, find the solution of initial value problem \frac{d y}{d x}=1+y^2, y(0)=0;at x=1,when step-size is 0.2.)
Solution:यहाँ h=0.2, n=5, x_0=0, y_0=0
तथा \frac{d y}{d x}=f(x, y)=1+y^2
अतः y_1=y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =0+(0.2) f(0.0) \\ =0+(0.2)\left(1+0^2\right) \\ =0+0.2 \times 1 \\ \Rightarrow y_1 =0.2 \\ y_2=y_1+h f\left(x_0+h, y_1\right) \\ =0.2+(0.2) f(0+0.2,0.2) \\=0.2+(0.2) f(0.2,0.2) \\ =0.2+(0.2)\left(1+(0.2)^2\right) \\ =0.2+(0.2)(1+0.04) \\ =0.2+0.2 \times 1.04 \\ =0.2+0.208 \\ \Rightarrow y_2=0.408 \\ y_3=y_2+h f\left(x_0+2 h, y_2\right) \\ =0.408+(0.2) f(0+2 \times 0.2,0.408) \\ =0.408+0.2 f(0.4,0.408) \\ =0.408+0.2\left[1+(0.408)^2\right] \\ \approx 0.408+0.2(1+0.16646) \\ \approx 0.408+0.23329 \\ \Rightarrow y_3 \approx 0.64129 \\ y_4 =y_3+h f\left(x_0+3 h, y_3\right) \\ =0.64129+(0.2) f(0+3 \times 0.2,0.64129) \\ =0.64129+(0.2) f(0.6,0.64129) \\ =0.64129+(0.2)\left[1+(0.64129)^2 \right] \\ \approx 0.64129+0.2 \times 1.41125 \\ \approx 0.64129+0.28225 \\ \Rightarrow y_4 \approx 0.92354 \\ y_5=y_4+h f\left(x_0+4 h, y_4\right) \\=0.92354+(0.2) f(0+4 \times 0.2, 0 .92354) \\=0.92354+(0.2) f(0.8,0.92354) \\ =0.92354+(0.2)\left[1+(0.92354)^2\right] \\ \approx 0.92354+(0.2)[1+0.85293] \\ \approx 0.92354+0.2 \times 1.85293 \\ \approx 0.92354+0.37059 \\ \Rightarrow y_5 \approx 1.2941
Illustration:4.ऑयलर विधि के प्रयोग से प्रारम्भिक मान समस्या \frac{d y}{d x}=x-y^2 , y(0)=1 का हल x=0.1 पर चार चरणों में ज्ञात कीजिए।
(Using Euler’s method, find the solution of initial value problem \frac{d y}{d x}=x-y^2 , y(0)=1;at x=0.1 is four steps.)
Solution:यहाँ h=0.025, n=4, x_0=0.1, y_0=1
तथा \frac{d y}{d x}=f(x, y)=x-y^2
अतः y_1=y_0+h f\left(x_0, y_0\right) \\ =1+(0.025) f(0.1,1) \\ =1+(0.025)\left[0.1-1^2\right] \\ =1+0.025(-0.9) \\ =1-0.0225 \\ \Rightarrow y_1 =0.9775 \\ y_2=y_1+h f\left(x_0+h_{,} y_1\right) \\ =0.9775+(0.025) f(0.1+0.025,0.9775) \\ =0.9775+(0.025) f(0.125,0.9775) \\ =0.9775+(0.025)\left[0.125-(0.9775)^2\right] \\ \approx 0.9775+(0.025)[0.125-0.95511] \\ \approx 0.9775+0.025 \times-0.83051 \\ \approx 0.9775-0.02076 \\ \Rightarrow y_2 \approx 0.95674 \\ y_3 =y_2+h f\left(x_0+2 h, y_2\right) \\ =0.95674+(0.025) f(0.1+ 2 \times 0.025 , 0.95674) \\ =0.95674+(0.025) f(0.1+0.05, 0.95674) \\ =0.95674+(0.025)\left[0.15-(0.95674)^2\right] \\ \approx 0.95674+(0.025)[0.15-0.91535] \\ \approx 0.95674+(0.025) \times(-0.76535) \\ \approx 0.95674-0.01913 \\ \Rightarrow y_3 \approx 0.93761 \\ y_4=y_3+h f\left(x_0+3 h, y_3\right) \\ =0.93761+(0.025) f(0.1+3 \times 0.025, 0.93761) \\ =0.93761+(0.025) f(0.1+0.075,0.9376) \\ =0.93761+(0.025) f(0.175,0.93761) \\ \left.=0.93761+(0.025)[0.175-(0.93761)^2 \right] \\ \approx 0.93761+(0.025)[0.175-0.87911] \\ \approx 0.93761+(0.025) \times(-0.70411) \\ \Rightarrow y_4 \approx 0.93761-0.0176 \\ \Rightarrow y_4 \approx 0.92001
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Euler Method),ऑयलर विधि द्वारा साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Method) को समझ सकते हैं।
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3.ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Frequently Asked Questions Related to Numerical Solution by Euler Method),ऑयलर विधि द्वारा साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.प्रारम्भिक मान समस्याएँ किसे कहते हैं? (What Are Initial Value Problems?):
उत्तर:ऐसी समस्याएँ जिनमें अवकल समीकरण को हल करने के लिए इसकी सभी शर्तें एक बिन्दु पर दी गई हों,प्रारम्भिक मान समस्याएँ (initial value problems) IVP कहलाती हैं।
प्रश्न:2.परिसीमा मान समस्याओं की परिभाषा दीजिए। (Define the Boundary Value Problems):
उत्तर:ऐसी समस्याएँ जिनमें अवकल समीकरण को हल करने के लिए इसकी सभी शर्ते एक से अधिक बिन्दुओं पर दी गई हो परिसीमा मान समस्याएँ (boundary value problems) BVP कहलाती हैं।
प्रश्न:3.ऑयलर विधि के बारे में बताएं। (Tell Us About the Euler Method):
उत्तर:निम्न प्रारम्भिक मान समस्या पर विचार करें
\frac{d y}{d x}=y^{\prime}=f(x, y) जहाँ y\left(x_0\right)=y_0
इसे निम्न सूत्र द्वारा हल किया जाता है:
y_n=y_{n-1}+h f\left(x_0+\overline{n-1} h, y_{n-1}\right)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Euler Method),ऑयलर विधि द्वारा साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल (Numerical Solution of Ordinary Differential Equations by Euler Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल
(Numerical Solution by Euler Method)
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ऑयलर विधि द्वारा संख्यात्मक हल (Numerical Solution by Euler Method) के इस आर्टिकल
में साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक हल पर आधारित सवालों को ऑयलर विधि से
हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
