1.विविक्त गणित में फलन (Function in Discrete Mathematics),फलन (Function):

Function in Discrete Mathematics

विविक्त गणित में फलन (Function in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में फलनों के प्रकार,प्रतिलोम फलन,विशेष प्रकार के फलन आदि पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Types of Relations in Discrete Maths

2.विविक्त गणित में फलन के उदाहरण (Function in Discrete Mathematics Illustrations):

Illustration:1.माना A={1,2,3} तथा B={a,b,c,d} दो समुच्चय हैं।बताइए कि A से B में परिभाषित निम्नलिखित सम्बन्ध फलन हैं अथवा नहीं? यदि हैं तो इनके प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
(Let A={1,2,3} and B={a,b,c,d} be two sets.Determine whether the following relations from A to B are functions or not? If so, the find their domains and ranges.)
Illustration:1(i). R_1=\{(1, a),(2, b),(3, a)\}
Solution: R_1=\{(1, a),(2, b),(3, a)\} \\ 1,2,3 \in A, a, b \in B
अतः R_1 फलन है।
प्रान्त={1,2,3},परिसर={a,b}
Illustration:1(ii). R_2=\{(1, c),(2, a),(2, d),(3, b)\}
Solution: R_2=\{(1, c),(2, a),(2, d),(3, b)\} \\ 1,2,3 \in A परन्तु (2, a),(2, d) \in R_2
अर्थात् 2 का अद्वितीय प्रतिबिम्ब नहीं है फलतः R_2 फलन नहीं है।
Illustration:1(iii). R_3=\{(1, a),(1, d)\}
Solution: R_3=\{(1, a),(1, d)\}
2,3 का प्रतिबिम्ब में नहीं है तथा 1 का अद्वितीय प्रतिबिम्ब नहीं है।
अतः R_3 फलन नहीं है।
Illustration:1(iv). R_4=\{(1, a),(2, a),(3, a)\}
Solution: R_4=\{(1, a),(2, a),(3, a)\}
1,2,3 का अद्वितीय प्रतिबिम्ब विद्यमान है अतः R_4 फलन है।
प्रान्त={1,2,3},परिसर={a}
Illustration:2.माना f: R \rightarrow Z फलन है जहाँ f(x)=\lfloor x\rfloor ; \forall x \in R ,तब निम्नलिखित ज्ञात कीजिए।
(Let f: R \rightarrow Z be the function defined f(x)=\lfloor x\rfloor ; \forall x \in R , then find the following):
(i)f^{-1} (\{1\})
(ii)f^{-1}(\{-1,0,1\})
(iii) f^{-1}(\{x : 0< x< 1)\}
यहाँ f^{-1} (x) से तात्पर्य प्रतिलोम प्रतिबिम्ब से है।
(Here f^{-1} (x) means image of x.)
Solution: (i). f(x)=\lfloor x \rfloor \\ x=f^{-1}\lfloor x \rfloor \\ f^{-1} \lfloor 1\rfloor \leq 1 \\ f^{-1} (\{1\})=\{x: 1 \leq x< 2\}
(ii). f^{-1} \lfloor -1,0,1 \rfloor=\{x:-1 \leq x< 2\} \\ f^{-1}(\{-1,0,1\})=\{x:-1 \leq x< 2\}
(iii). f^{-1}(\{x: 0< x< 1)\}=\phi
चूँकि x \in Z
Illustration:3.यदि X तथा Y अरिक्त समुच्चय है और f: X \rightarrow Y एक फलन है तथा A और B \subseteq Y ,तो
(If X and Y are non-empty sets and f: X \rightarrow Y is a function and A and B \subseteq Y , then)
(i)f^{-1}(A \cup B)=f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)
(ii) f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)
(iii) f^{-1}(A^{\prime})=\left[f^{-1}(A)\right]^{\prime}
(iv)f^{-1}(A-B)=f^{-1}(A)- f^{-1}(B)
f^{-1}(A) से तात्पर्य प्रतिलोम प्रतिबिम्ब से है।
(By f^{-1}(A) we mean inverse image of A.)
Solution:(i). f^{-1}(A \cup B)=f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)
माना x \in f^{-1}(A \cup B) \Rightarrow f(x) \in A \cup B \\ \Rightarrow f(x) \in A \vee f(x) \in B \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \vee x \in f^{-1}(B)\\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \\ \Rightarrow f^{-1}(A \cup B) \subset f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \cdots(1)
पुनः माना x \in f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \vee x \in f^{-1}(B) \\ \Rightarrow f(x) \in f^{-1}(B) \vee f(x) \in B \\ \Rightarrow f(x) \in A \cup B \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A \cup B) \\ \Rightarrow f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cup B) \cdots(2)
(1) और (2) सेः
f^{-1}(A \cup B)=f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)
(ii). f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \\ x \in f^{-1}(A \cap B) \Rightarrow f(x) \in \left(A \cap B\right) \\ \Rightarrow f(x) \in A \wedge f(x) \in B \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \cap x \in f^{-1}(B) \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \\ \Rightarrow f^{-1}(A \cap B) \subset f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \cdots(1)
पुनः x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \cap x \in f^{-1}(B) \\ \Rightarrow f(x) \in A \wedge f(x) \in B \\ \Rightarrow f(x) \in A \cap B \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A \cap B) \\\Rightarrow f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A \cap B) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
f^{-1}(A \cap B)=f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)
(ii). f^{-1}\left(A^{\prime}\right)=\left[f^{-1}(A)\right]^{\prime}
माना x \in f^{-1}\left(A^{\prime}\right) \Rightarrow f(x) \in A^{\prime} \\ \Rightarrow f(x) \notin A \\ \Rightarrow x \notin f^{-1}(A) \\ \Rightarrow x \in\left[f^{-1}(A)\right]^{\prime} \\ \therefore f^{-1}\left(A^{\prime}\right) \subset\left[f^{-1}(A)\right]^{\prime} \cdots(1)
पुनः माना x \in\left[f^{-1}(A)\right]^{\prime} \Rightarrow x \notin f^{-1}(A) \\ \Rightarrow f(x) \notin A \\ \Rightarrow f(x) \in A^{\prime} \\ \Rightarrow x \in f^{-1}\left(A^{\prime}\right) \\ \therefore \left[f^{-1}(A)\right]^{\prime} \subset f^{-1}\left(A^{\prime}\right) \cdots(2)
(1) व (2) सेः
f^{-1}\left(A^{\prime}\right)=\left[f^{-1}(A)\right]^{\prime}
(iii). f^{-1}(A-B)=f^{-1}(A)-f^{-1}(B)
माना x \in f^{-1}(A-B)\Rightarrow f(x) \in A-B) \\ \Rightarrow f(x) \in A \wedge f(x) \notin B \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \wedge x \notin f^{-1}(B) \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A)-f^{-1}(B) \\ \therefore f^{-1}(A-B) \subset f^{-1}(A)-f^{-1}(B) \cdots(1)
पुनः माना x \in f^{-1}(A)-f^{-1}(B) \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A) \wedge x \notin f^{-1}(B) \\ \Rightarrow f(x) \in A \wedge f(x) \notin B \\ \Rightarrow f(x) \in A-B \\ \Rightarrow x \in f^{-1}(A-B) \\ \therefore f^{-1}(A)-f^{-1}(B) \subset f^{-1}(A-B) \cdots(2)
(1) और (2) सेः
f^{-1}(A-B)=f^{-1}(A)-f^{-1}(B)

Function in Discrete Mathematics

Illustration:4.यदि A तथा B समुच्चय X के उपसमुच्चय हैं तथा f: X \rightarrow Y एक फलन है,तब सिद्ध कीजिए किः
(If A and B are the subsets of the set Y and f: X \rightarrow Y is a function, then prove that):
(i) f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)
(ii) f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)
Solution:(i). f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)
f: X \rightarrow Y तथा A, B \subset X
माना y \in f(A \cup B) \Rightarrow y=f(x) \forall x \in A \cup B \\ \Rightarrow y=f(x) \forall x \in A \vee x \in B \\ \Rightarrow y=f(x) जहाँ f(x) \in f(A) \vee f(x) \in f(B) \\ \Rightarrow y \in f(A) \vee y \in f(B) \\ \Rightarrow y \in f(A) \cup f(B) \\ \therefore f(A \cup B) \subset f(A) \cup f(B) \cdots(1)
पुनः माना y \in f(A) \cup f(B) \Rightarrow y \in f(A) \vee y \in f(B) \\ \Rightarrow \exists x \in A \text { s.t. } y=f(x) \\ \Rightarrow y=f(x) \quad \forall x \in A \vee x \in B \\ \Rightarrow y=f(x) जहाँ x \in A \vee x \in B \\ \Rightarrow y=f(x) जहाँ x \in A \cup B \\ \Rightarrow y \in f(A \cup B) \\ \therefore f(A) \cup f(B) \subset f(A \cup B) \cdots(2)
(1) और (2) सेः
f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)
(ii). f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)
माना y \in f(A \cap B) \Rightarrow y \in f(x) \forall x \in A \cap B \\ \Rightarrow y=f(x) जहाँ x \in A \wedge x \in B \\ \Rightarrow y=f(x) जहाँ f(x) \in A \wedge f(x) \in f(B) \\ \Rightarrow y \in f(A) \wedge y \in f(B) \\ \Rightarrow y \in f(A) \cap f(B) \\ \therefore f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) \cdots(1)
पुनः माना y \in f(A) \cap f(B) \Rightarrow y \in f(A) \wedge y \in f(B) \\ \Rightarrow y=f(x) जहाँ f(x) \in A \wedge f(x) \in f(B) \\ \Rightarrow y=f(x) जहाँ x \in A \cap x \in B \\ \Rightarrow y \in f(x) \forall x \in(A \cap B) \\ \Rightarrow y \in f(A \cap B) \\ \therefore f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B) \cdots(2)
(1) और (2) सेः
f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)
Illustration:5.यदि f: R \rightarrow R कोई फलन है,जहाँ f(x)=2 x-3 ; \forall x \in R , तब प्रदर्शित कीजिए कि f एकैकी आच्छादक है।फलतः f^{-1} की परिभाषा दीजिए।
(If f: R \rightarrow R is a function where f(x)=2 x-3 ; \forall x \in R , ,then show that f is one-one onto.Hence define f^{-1}.)
Solution:माना x_1, x_2 \in R
तब f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right) \\ \Rightarrow 2 x_1-3=2 x_2-3 \\ \Rightarrow 2 x_1=2 x_2 \\ \Rightarrow x_1=x_2
अतः f एक एकैकी फलन है।
माना y \in R (सहप्रान्त) यदि सम्भव हो तो माना y का पूर्व-प्रतिबिम्ब x हो।
तब f(x)=y \Rightarrow 2 x-3=y \\ \Rightarrow x=\frac{y+3}{2} \in R (प्रान्त)
अतः सहप्रान्त R के प्रत्येक अवयव का पूर्व-प्रतिबिम्ब R [प्रान्त] में विद्यमान है।अतः f आच्छादक है।
इस प्रकार f एक एकैकी आच्छादक फलन है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त गणित में फलन (Function in Discrete Mathematics),फलन (Function) को समझ सकते हैं।

3.फलनों के प्रकार (Types of Functions):

Function in Discrete Mathematics

(1.)समान फलन (Equal Functions):
दो फलन f और g परस्पर समान कहलाते हैं यदि
(i).उनके प्रान्त तथा सहप्रान्त एक ही हैं,तथा
(ii).f(x)=g(x); उनके प्रान्त के सभी अवयवों के लिए।
इसे हम f=g लिखकर व्यक्त करते हैं।
(2.)अचर फलन (Constant function):
माना X तथा Y दो समुच्चय हैं।तब फलन f: X \rightarrow Y एक अचर फलन कहलाता है यदि f(x)=x, \forall x \in X
इसे हम I_x द्वारा निरूपित करते हैं।
स्पष्ट है कि I_x का परिसर=X
(3.)वास्तविक फलन (Rean function):
यदि समुच्चय X तथा Y,वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R के उपसमुच्चय है,तब फलन f: X \rightarrow Y \text { s.t. } f(x)=y, \forall x \in X वास्तविक फलन (real function or real valued function) कहलाता है।
(4.)मापांक फलन (Modulus function):
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर परिभाषित फलन f: R \rightarrow R
जहाँ, f(x)=x यदि x>0
=-x यदि x<0
मापांक फलन (Modulus function) कहलाता है।इसे हम f(x)=|x| द्वारा निरूपित करते हैं।अतः
f(x)=|x|=x यदि x>0
=-x यदि x<0
(5.)निम्नतांक फलन (Floor function):
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R से पूर्णांकों के समुच्चय Z में परिभाषित फलन f: R \rightarrow Z ,जो प्रत्येक x \in R को,x के बराबर या उससे छोटे महत्तम पूर्णांक( greatest integer \geq x) से सम्बद्ध करता है,निम्नतांक फलन (Floor function) कहलाता है।इसे हम f(x)=\lfloor x\rfloor द्वारा निरूपित करते हैं।
अतः f(x)=\lfloor x\rfloor महत्तम पूर्णांक \leq x
(6.)उच्चतमांक फलन (Ceiling function):
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R से पूर्णांकों के समुच्चय Z में परिभाषित फलन f: R \rightarrow Z ,जो प्रत्येक x \in R को,x के बराबर अथवा उससे बड़े न्यूनतम पूर्णांक ( least integer \leq x) से सम्बद्ध करता है,उच्चतमांक फलन (ceiling function) कहलाता है।इसे हम f(x)=\lfloor x\rfloor द्वारा निरूपित करते हैं।
अतः f(x)=\lfloor x\rfloor न्यूनतम पूर्णांक \geq x
निम्नतांक और उच्चतमांक फलनों की परिभाषा से स्पष्ट है कि यदि x एक पूर्णांक है तो \lfloor x\rfloor=\lceil x\rceil
अन्यथा \lfloor x\rfloor+1=\lceil x\rceil

Also Read This Article:- Composite Relation in Discrete Maths

4.विविक्त गणित में फलन (Frequently Asked Questions Related to Function in Discrete Mathematics),फलन (Function) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विविक्त गणित में फलन (Function in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में फलनों
के प्रकार,प्रतिलोम फलन,विशेष प्रकार के फलन आदि पर आधारित सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।