1.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equations in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations):

Equations in Quantitative Aptitude

आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equations in Quantitative Aptitude) के इस आर्टिकल में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों व द्विघात समीकरणों के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equations in Quantitative Aptitude):

Example:1.दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल 11520 है और उनका भागफल \frac{9}{5} है।दोनों संख्याओं का अन्तर है:
(a)60 (b)64 (c)74 (d)70
Solution: xy=11520 \cdots(1), \frac{x}{y}=\frac{9}{5} \cdots(2)
(1) व (2) को गुणा करने परः
xy \times \frac{x}{y}=11520 \times \frac{9}{5} \\ \Rightarrow x^2=20736 \\ \Rightarrow x=\sqrt{20736}=144
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
144 \times y=11520 \\ \Rightarrow y=\frac{11520}{144}=80
अन्तर=144-80=64
विकल्प (b) सही है।
Example:2.किसी संख्या के तीन चौथाई का \frac{2}{3} बराबर है:
(a) संख्या का \frac{1}{2} (b) संख्या का \frac{1}{3} (c) संख्या का \frac{8}{9} (d) संख्या का \frac{17}{12}
Solution: x \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{2} x
विकल्प (a) सही है।
Example:3.एक कक्षा में लड़कों की संख्या लड़कियों की संख्या से तीन गुनी है,निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या कक्षा में कुल बच्चों की संख्या को निरूपित नहीं करती?
(a)40 (b)42 (c)44 (d) 48 (e) इनमें से कोई नहीं
Solution:लड़कियों की संख्या=x
लड़कों की संख्या=3x
कुल बच्चों की संख्या=4x
42, 4 से विभाज्य नहीं है अतः 42 बच्चों की संख्या नहीं हो सकती है।
विकल्प (b) सही है।
Example:4.यदि x एक प्राकृतिक संख्या है,तो x(x+1)(x+2) हमेशा किससे विभाजित हो सकती है?
(a) 4 (b) 15 (c) 6 (d) 7 (e) इनमें से कोई नहीं
Solution: x(x+1)(x+2)
x=1 तो 1(1+1)(1+2)=6
x=2 तो 2(2+1)(2+2)=24
अतः 6 से विभाजित हो सकती है।
विकल्प (c) सही है।
Example:5. 74 को दो ऐसे भागों में विभक्त किया गया है ताकि एक भाग का 5 गुणा और दूसरे भाग का 11 गुना दोनों मिलकर 454 के तुल्य हों।
(a) 60,14 (b) 30,44 (c) 14,60 (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:माना एक भाग=x
दूसरा भाग=74-x
\Rightarrow 5x+11(74-x)=454
\Rightarrow 5x+814-11x=454
\Rightarrow -6x=454-814
\Rightarrow -6x=-360
\Rightarrow x=60
दूसरा भाग=74-x=74-60=14
अतः दो भाग 60,14 हैं।
विकल्प (a) सही है।
Example:6.दो अंकों की एक संख्या,अपने अंकों के योग की पाँच गुनी है।यदि संख्या में 9 जोड़ दिया जाए,तो अंकों के स्थान परस्पर बदल जाते हैं,संख्या के अंकों का योग है:
(a) 11 (b) 7 (c) 6 (d) 9
Solution:माना इकाई का अंक=x,दहाई का अंक=y
संख्या=10y+x
(10 y+x)=5(x+y) \\ \Rightarrow 10y+x=5x+5y \\ \Rightarrow 4 x-5 y=0 \cdots(1) \\ 10 y+x+9=10 x+y \\ \Rightarrow 9x-9y=9 \\ \Rightarrow x-y=1 \cdots(2)
(1) व (2) से:
-x=-5 \Rightarrow x=5
x का मान (1) में रखने पर 4×5-5y=0
\Rightarrow y=4
संख्या के अंकों का योग=5+4=9
विकल्प (d) सही है।
Example:7.दो संख्याओं का गुणनफल 9375 है तथा बड़ी संख्या को छोटी से भाग देने पर भागफल 15 आता है।संख्याओं का योग होगा:
(a) 395 (b) 380 (c) 400 (d) 425
Solution:माना बड़ी संख्या=x, छोटी संख्या=y
x y=9375 \ldots(1) \\ \frac{x}{y}=15 \cdots(2)
(1) व (2) से:
x y \times \frac{x}{y}=9375 \times 15 \\ \Rightarrow x^2=140625 \\ \Rightarrow x=\sqrt{140625}=375
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
375 \times y=9375 \\ \Rightarrow y=\frac{9375}{375}=25 \\ x+y=375+25=400
विकल्प (c) सही है।
Example:8.वह सबसे छोटी संख्या,जिसे 6709 में जोड़ने पर योगफल 9 से विभाजित होगा,होगी
(a) 5 (b) 4 (c) 7 (d) 2
Solution: \frac{6709+5}{9}=\frac{6714}{9}=746
विकल्प (a) सही है।
Example:9.दो अंकों की संख्या,अंकों के योग से तीन गुना है तथा संख्या में 45 जोड़ने पर प्राप्त संख्या में अंकों के स्थान का क्रम पलट जाता है,संख्या क्या है?
(a) 72 (b) 32 (c) 27 (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:माना इकाई का अंक=x, दहाई का अंक=y
संख्या=10y+x
10 y+x=3(x+y) \\ \Rightarrow 10 y+x=3 x+3 y \\ \Rightarrow 2x-7y=0 \ldots(1) \\ 10 y+x+45=10 x+y \\ \Rightarrow 9x-9y=45 \\ \Rightarrow x-y=5 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:
5 x=-35 \\ \Rightarrow x=7
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
2 \times 7-7 y=0 \Rightarrow y=2
संख्या=27
विकल्प (c) सही है।
Example:10.दो संख्याओं का योग 40 है और उनका गुणनफल 375 है।उनके व्युत्क्रमों का योग क्या होगा?
(a) \frac{8}{75} (b) \frac{75}{8} (c) \frac{1}{40} (d) \frac{75}{4}
Solution:माना दो संख्याएँ हैं=x,y
x+y=40 \ldots(1) \\ xy=375 \\ x-y=\sqrt{(x+y)^2-4 x y} \\ =\sqrt{(40)^2-4 \times 375} \\ =\sqrt{1600-1500}=\sqrt{100} \\ \Rightarrow x-y=10 \ldots(2)
समीकरण (1) व (2) से:
2 x=50 \Rightarrow x=25
x का मान (1) में रखने पर:
25+y=40 \Rightarrow y=15 \\ \frac{1}{25}+\frac{1}{15}=\frac{3+5}{75}=\frac{8}{75}
विकल्प (a) सही है।
Example:11.एक दो अंकों की संख्या,अंकों के योग के चार गुना और अंकों के गुणनफल के तीन गुना के समान है,संख्या के दशम स्थान और प्रथम स्थान के अंक के बीच अन्तर निम्नलिखित होगा:
(a)2 (b)-2 (c)-1 (d) 1
Solution:माना इकाई का अंक=x,दहाई का अंक=y
संख्या=10y+x
10 y+x=4(x+y) \\ \Rightarrow 10 y+x=4 x+4 y \\ \Rightarrow 3x-6 y=0 \\ \Rightarrow x-2y=0 \cdots(1) \\ 10 y+x=3xy \cdots(2)
(1) व (2) सेः
10y+2y=3y(2y) \\ \Rightarrow 6y^2-12 y=0 \\ \Rightarrow 6 y(y-2)=0 \\ \Rightarrow y=2
y का मान (1) में रखने पर:
x-2×2=0 \\ \Rightarrow x=4
2-4=-2
विकल्प (b) सही है।
Example:12.यदि किसी संख्या का \frac{1}{3},75 हो तो निम्नलिखित में से उसका कौन-सा हिस्सा 45 है?
(a)\frac{2}{3} (b)\frac{1}{5} (c)\frac{6}{7} (d) \frac{3}{8}
Solution:माना संख्या=x
\frac{x}{3}=75 \\ \Rightarrow x=225 \\ \frac{45}{225}=\frac{1}{5}
विकल्प (b) सही है।
Example:13.सेमी में मान कितना होगा,यदि 1 मी,1 सेमी तथा 1 मिमी को जोड़ा जाए तथा कुल योग में से 1 इंच घटा दिया जाए?
(a) 10.00 (b) 25.43 (c) 98.56 (d) 998.56
Solution:1 मी+1 सेमी+1 मिमी-1 इंच
=100 सेमी+1 सेमी+ \frac{1}{10} सेमी-2.54 सेमी
=98.56
विकल्प (c) सही है।
Example:14.भैंसों तथा बत्तखों के एक समूह में सिरों की संख्या के दोगुने से 24 अधिक पैर हैं।समूह में भैंसों की संख्या कितनी है?
(a)6 (b)8 (c)10 (d) 12 (e) इनमें से कोई नहीं
Solution:माना भैंसों की संख्या=x,बत्तखों की संख्या=y
2(x+y)+24=4 x+2 y \\ \Rightarrow 2 x+2 y+24=4 x+2 y \\ \Rightarrow 2 x=24 \\ \Rightarrow x=12
विकल्प (d) सही है।
Example:15.यदि दो धनात्मक संख्याओं का योग 25 एवं उनका गुणनफल 144 हो,तो उन संख्याओं का अन्तर होगा:
(a) 3 (b) 5 (c) 7 (d) 11
Solution:माना संख्याएँ=x,y
x+y=25 \cdots(1) \\ xy=144 \cdots(2) \\ x-y=\sqrt{(x+y)^2-4 x y}=\sqrt{(25)^2-4 \times 144} \\ =\sqrt{625-576}=\sqrt{49} \\ \Rightarrow x-y=7
अन्तर=7
विकल्प (c) सही है।

Equations in Quantitative Aptitude

Example:16.यदि 2^{2 x-y}=16 और 2^{x+y}=32 ,तो xy का मान है:
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Solution: 2^{2 x-y}=16 \Rightarrow 2^{2 x-y}=2^4 \\ \Rightarrow 2 x-y=4 \cdots(1) \\ 2^{x+y}=32 \\ \Rightarrow 2^{x+y}=2^5 \Rightarrow x+y=5 \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:3x=9
3 x=9 \Rightarrow x=3
x का मान समीकरण (1) में रखने पर:
2 \times 3-y=4 \Rightarrow-y=4-6 \Rightarrow y=2 \\ x y=3 \times 2=6
xy=3×2=6
विकल्प (c) सही है।
Example:17.राणा का वजन उसकी बहन श्यामा से 140 पौंड अधिक है।उनका संयुक्त वजन 200 पौंड हैं।राणा का वजन कितना है?
(a) 130 पौंड (b) 170 पौंड (c) 140 पौंड (d) 180 पौंड (e) 150 पौंड
Solution:राणा का वजन=\frac{200+140}{2}=170
विकल्प (b) सही है।
Example:18.दो संख्याओं का योगफल और गुणनफल क्रमशः 5 तथा 6 है।तदनुसार उनके वर्गों के व्युत्क्रमों का योगफल होगा:
(a) \frac{13}{36} (b) \frac{36}{13} (c) \frac{61}{900} (d) \frac{5}{6}
Solution:माना संख्याएँ x,y हैं।
x+y=5 \ldots(1) \\ xy=6 \ldots(2) \\ x-y=\sqrt{(x+y)^2-4 x y} \\ =\sqrt{(5)^2+4 \times 6}=\sqrt{25-24} \\ \Rightarrow x-y=1 \ldots(3)
समीकरण (1) व (3) को जोड़ने पर:
2x=6 \\ \Rightarrow x=3
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
3+y=5 \\ \Rightarrow y=5-3=2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{(3)^2}+\frac{1}{(2)^2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4} \\ =\frac{4+9}{36}=\frac{13}{36}
विकल्प (a) सही है।
Example:19.एक सूक्ष्म जीव प्रत्येक 24 घण्टे में अपनी संख्या का दोगुना कर लेता है।30 दिन के अन्त में इसकी संख्या 84 लाख है।इसकी संख्या 21 लाख कब थी?
(a) 14वें दिन (b) 20वें दिन (c) 28वें दिन (d) 29वें दिन (e) इनमें से कोई नहीं
Solution:30वें दिन=84 लाख
29वें दिन=42 लाख
28वें दिन=21 लाख
28वें दिन के अन्त का अर्थ है 29वें दिन
विकल्प (d) सही है।
Example:20.भेड़ तथा गड़रियों के एक समूह में 16 पैर हैं,जो सिर की संख्या से 10 से अधिक हैं इसमें भेड़ों की संख्या है:
(a) 2 (b) 8 (c) 10 (d) 15
Solution:माना भेड़ों की संख्या=x,गड़रियों की संख्या=y
4 x+2 y=16 \Rightarrow 2 x+y=8 \cdots(1) \\ x+y=6 \cdots(2)
समीकरण (1) में से (2) घटाने परः
x=2
विकल्प (a) सही है।
Example:21.दो संख्याएँ 2:3 के अनुपात में हैं और उनका गुणनफल 96 है।उन संख्याओं का योगफल है:
(a) 5 (b) 20 (c) 101 (d) 102
Solution:माना संख्याएँ=2x,3x
2x \times 3x=96 \quad \Rightarrow 6 x^2=96 \\ \Rightarrow x^2=16 \\ \Rightarrow x=\sqrt{16}=4
संख्याएँ=2x=2×4=8,3x=3×4=12
योगफल=8+12=20
विकल्प (b) सही है।
Example:22.24 सेबों को ऐसे दो भागों में बाँटा गया है कि पहले का 7 गुना यदि दूसरे के 5 गुने में जोड़ा जाए तो योग 146 हो जाता है।पहला भाग क्या है?
(a) 27 (b) 13 (c) 18 (d) 23
Solution:माना पहला भाग=x,दूसरा भाग=24-x
7x+5(24-x)=146 \\ \Rightarrow 7x+120-5x=146 \\ \Rightarrow 2x=146-120=26 \\ \Rightarrow x=\frac{26}{2}=13
विकल्प (b) सही है।
Example:23.दो अंकों वाली किसी संख्या की पुनरावृत्ति करने से (जैसे 3737 या 6363) बनी चार अंकों वाली संख्या सदैव विभाज्य है निम्नलिखित से:
(a)11 (b)13 (c) 101 (d) 10001
Solution:101 से विभाज्य है।
विकल्प (c) सही है।
Example:24.मैंने एक धन पूर्णांक को 18 से गुणा किया और दूसरे को 21 से।तदोपरान्त दोनों गुणनफलों को जोड़ दिया।तदनुसार प्राप्त योग निम्नलिखित में से कौन-सा होगा?
(a)2007 (b)2008 (c)2006 (d)2002
Solution:माना पहला धन पूर्णांक=x,दूसरा धन पूर्णांक=y
18x+21y=3(6x+7y)
प्राप्त योग 3 से विभाजित होना चाहिए अतः 2007 होगा।
विकल्प (a) सही है।
Example:25.यदि 4 b^2+\frac{1}{b^2}=2 हो,तो 8 b^3+\frac{1}{b^3} का मान होगा:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 5
Solution: 4 b^2+\frac{1}{b^2}=2 \\ \left(2 b+\frac{1}{b}\right)^2=6 \\ \Rightarrow 2 b+\frac{1}{b} =\sqrt{6} \\ \Rightarrow 8 b^3+\frac{1}{b^3}=\left(2 b+\frac{1}{b}\right)^3-3 \times 2 b \times \frac{1}{b}\left(2 b+\frac{1}{b}\right) \\ =(\sqrt{6})^3-6 \sqrt{6}=6 \sqrt{6}-6 \sqrt{6}=0
विकल्प (a) सही है।
Example:26.दो संख्याओं के वर्गों का योग 80 है और उनके अन्तर का वर्ग 36 है,दोनों संख्याओं का गुणनफल है:
(a) 22 (b) 44 (c) 58 (d) 116
Solution: a^2+b^2=80 तथा (a-b)^2=36 \\ \Rightarrow a^2+b^2-2 a b=36 \\ \Rightarrow 80-2 a b=36 \\ \Rightarrow 2 a b=80-36 \\ \Rightarrow a b=\frac{44}{2}=22
विकल्प (a) सही है।
Example:27.यदि x-y=2 तथा x^2+y^2=20 हो,तो (x+y)^2 का मान होगा:
(a) 38 (b) 36 (c) 16 (d) 12
Solution: (x-y)^2=x^2+y^2-2 x y \\ (2)^2=20-2 x y \\ \Rightarrow 2 x y=20-4=16 \\ \Rightarrow x y=\frac{16}{2}=8 \\ (x+y)^2=(x-y)^2+4 x y=(2)^2+4 \times 8=36
विकल्प (b) सही है।
Example:28.यदि x^2+x-6=0 तथा x^2+6 x+9=0 हो,तो x बराबर होगा:
(a) 2 (b)3 (c)-2 (d) -3
Solution: x^2+6 x+9=x^2+x-6 \\ \Rightarrow 5 x=-15 \\ \Rightarrow x=\frac{-15}{5}=-3
विकल्प (d) सही है।
Example:29.दो अंकों की कितनी संख्याएँ हैं,जो 6 से विभाजित हो सकती है?
(a)18 (b)15 (c) 16 (d) 17
Solution: \frac{99}{6}=16
16-1=15
विकल्प (b) सही है।
Example:30.वह सबसे छोटी संख्या,जिसे 4 अंकों वाली सबसे बड़ी संख्या में जोड़ने पर योगफल 345 से विभाजित होता हो,होगा:
(a)50 (b)29 (c) 60 (d) 25
Solution: \frac{9999+6}{345}=\frac{10005}{345}=29
विकल्प (b) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equations in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations) को समझ सकते हैं।

3.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण पर आधारित सवाल (Qyestions Based on Equations in Quantitative Aptitude):

Equations in Quantitative Aptitude

(1.)स्कूल की एक कक्षा का \frac{2}{7} भाग लड़कियाँ हैं।यदि कक्षा में लड़कों की संख्या 560 है,तो लड़कियों की संख्या कितनी है?
(a) 112 (b) 224 (c) 336 (d) 56
(2.)किसी संख्या का \frac{4}{3} वाँ भाग उसके \frac{2}{3} वाँ भाग से 8 अधिक है,तो वह संख्या क्या है?
(a)130 (b)60 (c)90 (d) इनमें से कोई नहीं
उत्तर (Answers):(1.)(b) (2.) (d)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equations in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equations in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equations in Quantitative Aptitude) के इस
आर्टिकल में दो चरों वाले रैखिक समीकरणों व द्विघात समीकरणों के सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।