1.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equation in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations):

Equation in Quantitative Aptitude

आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equation in Quantitative Aptitude) के इस आर्टिकल में रैखिक समीकरणों,द्विघात समीकरणों,दो चरवाली रैखिक समीकरण पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण के उदाहरण (Equation in Quantitative Aptitude Illustrations):

Illustration:1.तीन संख्याओं का योग 165 है।यदि पहली तथा तीसरी संख्या में 4:5 का अनुपात तथा दूसरी और तीसरी संख्या में 3:2 का अनुपात हो,तो पहली संख्या है?
(a) 80 (b) 60 (c) 20 (d) 40
Solution:पहली व तीसरी संख्या का अनुपात=4:5
दूसरी और तीसरी संख्या का अनुपात=3:2
पहले अनुपात को 2 व दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करने परः
8:15:10
माना संख्याएँ=12x,15x,10x
8x+15x+19x=165
\Rightarrow 33 x=165 \\ \Rightarrow x=\frac{165}{33}=5
पहली संख्या=8x=8×5=40
विकल्प (d) सही है।
Illustration:2.दो अकों की एक संख्या का योग 15 है।यदि उसमें 9 जोड़ा जाए,तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं।संख्या है:
(a) 69 (b) 78( c) 87 (d) 96
Solution:माना इकाई का अंक=x,दहाई का अंक=y
संख्या=10y+x
x+y=15 \cdots(1) \\ 10 y+x+9=10 x+y \\ \Rightarrow 10 x-x+y-10 y=9 \\ \Rightarrow 9 x-9 y=9 \\ \Rightarrow 9(x-y)=9 \\ \Rightarrow x-y=1 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने परः
2 x=16 \Rightarrow x=\frac{16}{2}=8
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
8+y=15 \Rightarrow y=7
संख्या=78
विकल्प (b) सही है।
Illustration:3.दो संख्याओं को 33 से अलग-अलग भाग देने पर शेष क्रमशः 21 तथा 28 प्राप्त होते हैं।यदि इन दोनों संख्याओं के योगफल को 33 से भाग दिया जाए,तो शेष प्राप्त होगा:
(a)10 (b)12 (c)4 (a) 16
Solution:दो संख्याओं के योग में भाग देने पर
शेषफल=\frac{21+28}{22}=\frac{49}{33} , शेषफल=16
विकल्प (d) सही है।
Illustration:4.किसी संख्या को \frac{7}{6} से गुणा करने को कहा गया परन्तु उस संख्या को \frac{7}{6} से भाग दे दिया गया,जिससे परिणाम वास्तविक परिणाम से 39 कम प्राप्त हुआ।वह संख्या क्या थी?
(a) 135 (b) 126 (c) 140 (d) 125
Solution:माना संख्या=x
\frac{7}{6} \times x-\frac{x}{7}=39 \\ \Rightarrow \frac{7 x}{6}-\frac{6 x}{7}=39 \\ \Rightarrow \frac{49 x-36 x}{42}=39 \\ \Rightarrow \frac{13 x}{42}=39 \\ \Rightarrow x=39 \times \frac{42}{13}=126
विकल्प (b) सही है।
Illustration:5.किसी संख्या को 3 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है।जब इस भागफल को 2 से भाग दिया जाता है,तो शेषफल 1 आता है।यदि प्रारम्भिक संख्या को 6 से भाग दिया जाए,तो शेषफल द्वारा प्राप्त होगा?
(a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 2
Solution:भाजक संख्या शेष
\therefore y=2z+1 \\ \Rightarrow x=3(2 z+1)+1 \\ =6 z+3+1=6 z+4
इसमें 6 का भाग देने पर शेषफल 4 बचता है।
विकल्प (b) सही है।
Illustration:6.तीन संख्याएँ जो परस्पर अभाज्य हैं,इस प्रकार हैं कि प्रथम दो का गुणनफल 551 तथा अन्तिम दो का गुणनफल 1073 है,तीनों संख्याओं का योग है:
(a) 75 (b) 81 (c) 85 (d) 89
Solution:551=19×29
1073=29×37
तीनों संख्याओं का योग=19+29+37=85
विकल्प (c) सही है।
Illustration:7.किसी दो अंकों की संख्या एवं संख्या के अंकों को परस्पर बदलने से प्राप्त संख्या का योग 110 है,तो संख्या क्या होगी जबकि उसके अंकों का अन्तर 4 हो?
(a) 38 (b) 73 (c) 48 (d) 84
Solution:माना इकाई का अंक=y,दहाई का अंक=x
x-y=4     …… (1)
संख्या=10x+y
10 x+y+10 y+x=110 \\ \Rightarrow 11 x+11 y=110 \\ \Rightarrow 11(x+y)=110 \\ \Rightarrow x+y=\frac{110}{11} \\ \Rightarrow x+y=10 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने परः
2 x=14 \Rightarrow x=\frac{14}{2}=7
x का मान समीकरण (2) में रखने परः
7+y=10 \Rightarrow y=3
संख्या=73
विकल्प (b) सही है।
Illustration:8.यदि किसी दो अंकों की संख्या में इकाई का अंक दहाई के अंक से 2 अधिक है तथा संख्या और अंकों के योग का गुणनफल 144 है,तो संख्या है:
(a) 46 (b) 42 (c) 26 (d) 24
Solution:माना इकाई का अंक=x,दहाई का अंक=y
x-y=2  \cdots (1) \\ \Rightarrow x=y+2
संख्या=10y+x
(10 y+x)(x+y)=144 \\ \Rightarrow 10 x y+10 y^2+x^2+xy=144 \\ \Rightarrow 10(y+2) y+10 y^2+(y+2)^2+(y+2) y=144 \\ \Rightarrow 10 y^2+20 y+10 y^2+y^2+4 y+4+y^2+2 y=144 \\ \Rightarrow 22 y^2+26 y-140=0 \\ \Rightarrow 2\left(11 y^2+13 y-70\right)=0 \\ \Rightarrow 11 y^2+13 y-70=0 \\ \Rightarrow 11 y^2+35 y-22 y-70=0 \\ \Rightarrow y(11 y+35)-2(11 y+35)=0 \\ \Rightarrow(11 y+35)(y-2)=0 \Rightarrow 11+y+35=0 (असम्भव है)
\Rightarrow y-2=0 \Rightarrow y=2 \\ x-2=2 \Rightarrow x=4 [(1) से]
संख्या=24
विकल्प (d) सही है।
Illustration:9.यदि 3^{x+y}=81 तथा 81^{x-y}=3 हो,तो x का मान होगा:
(a) 42 (b)\frac{15}{8}  (c)\frac{17}{8} (d) 39
Solution: 3^{x+y}=81 \\ \Rightarrow 3^{x+y}=3^4 \\ \Rightarrow x+y=4 \\ 81^{x-y}=3 \\ \Rightarrow 3^{4(x-y)}=3^1 \\ \Rightarrow 4(x-y)=1 \\ \Rightarrow x-y=\frac{1}{4} \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने परः
2x=4+\frac{1}{4} \\ \Rightarrow x=\frac{17}{8}
विकल्प (c) सही है।
Illustration:10.दो संख्याओं का जोड़ 24 है और उनका गुणनफल 143 है।तदनुसार उनके वर्गों का योग कितना होगा?
(a) 296 (b) 295 (c) 290 (d) 228
Solution: x+y=24 \cdots(1) \\  xy=143 \cdots(2) \\ x-y =\sqrt{(x+y)^2-4 x y} \\=\sqrt{24^2-4 \times 143} \\ =\sqrt{576-572}=\sqrt{4}=2 \\ \Rightarrow x-y=2 \cdots(3)
(1) व (3) को जोड़ने परः
2x=26 \\ \Rightarrow x=\frac{26}{2}=13
x का मान समीकरण (1) में रखने परः
13+y=24 \\ \Rightarrow y=11 \\ x^2+y^2=13^2+11^2=169+121=290
विकल्प (c) सही है।
Illustration:11.एक तीन अंकों की संख्या के अंकों का योग 14 है।यदि दहाई,इकाई से दो गुना तथा इकाई,सैकड़ा का चौथाई है तो संख्या ज्ञात करोः
(a) 446 (b) 421 (c) 482 (d) 842
Solution:माना इकाई का अंक=x,दहाई का अंक=y
सैकड़ा का अंक=14-x-y
\Rightarrow 2x=y \cdots(1) \\ x=\frac{1}{4}(14-x-y) \cdots(2)
समीकरण (1) से y का मान (2) में रखने परः
x=\frac{1}{4}(14-x-2 x) \\ \Rightarrow x=\frac{1}{4}(14-3 x) \\ \Rightarrow 4x+3 x=14 \\ \Rightarrow 7 x=14 \Rightarrow x=\frac{14}{7}=2
समीकरण (1) में x का मान रखने पर y=4
सैकड़ा का अंक=14-x-y=14-2-4=8
संख्या=842
विकल्प (d) सही है।
Illustration:12.यदि किसी संख्या के एक-चौथाई का एक-तिहाई भाग 15 है,तो उस संख्या का \frac{3}{10} वाँ भाग होगा:
(a) 35 (b) 36 (c) 54 (d) 46
Solution:माना संख्या=x
\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} x\right)=15 \\ \Rightarrow x=180 \\ \frac{3}{10} \times 180=54
विकल्प (c) सही है।
Illustration:13.किसी एक धनात्मक संख्या का दो-तिहाई और उसके व्युत्क्रम का \frac{25}{216} बराबर है।वह संख्या है:
(a) \frac{25}{144} (b) \frac{5}{12} (c) \frac{144}{25} (d) \frac{12}{5}
Solution:माना संख्या=x
\frac{2}{3} x=\frac{1}{x} \times \frac{25}{216} \\ \Rightarrow x^2=\frac{25}{216} \times \frac{3}{2} \\ \Rightarrow x^2=\frac{25}{144} \\ \Rightarrow x=\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{5}{12}
विकल्प (b) सही है।
Illustration:14.किसी संख्या में 7 जोड़ा जाता है।योग को 5 से गुणा किया जाता है।गुणनफल को 9 से विभाजित किया है तथा भागफल से 3 घटा दिया जाता है।इस प्रकार यदि शेषफल 12 आता हो,तो प्रारम्भिक संख्या क्या थी?
(a) 30 (b) 20 (0) 40 (d) 60
Solution:माना संख्या=x
\frac{5(x+7)-3}{9}=12 \\ \Rightarrow \frac{5(x+7)}{5}=12+3 \\ \Rightarrow x+7=15 \times \frac{9}{5} \Rightarrow x=27-7=20
विकल्प (b) सही है।
Illustration:15.एक व्यक्ति अपनी सम्पत्ति का \frac{1}{2} भाग बेच देता है,शेष का \frac{1}{2} भाग अपने पुत्र को देता है और अन्तिम शेष का \frac{1}{3} भाग अपनी पुत्री को देता है,यदि पुत्री को ₹ 12500 मिले,तो व्यक्ति की कुल सम्पत्ति कितनी थी?
(a) ₹ 105000  (b) ₹ 125000  (c) ₹ 130000  (d) ₹ 150000
Solution:माना कुल सम्पत्ति=x
सम्पत्ति का भाग बेचता है=\frac{x}{2}
पुत्र को देता है=\frac{1}{2} \times \frac{x}{2}=\frac{x}{4}
पुत्री को देता है=\left(\frac{x}{2}-\frac{x}{4}\right) \times \frac{1}{3}=12500 \\ \Rightarrow \frac{x}{4} \times \frac{1}{3} =12500 \\ \Rightarrow x=12500 \times 4 \times 3 \\ \Rightarrow x=150000
विकल्प (d) सही है।

Equation in Quantitative Aptitude

Illustration:16.दो प्राकृतिक संख्याएँ 3:5 के अनुपात में हैं तथा उनका गुणनफल 2160 है।उनमें छोटी संख्या होगी:
(a) 36 (b) 24 (c) 18 (d) 12
Solution:माना दो संख्याएँ 3x,5x हैं।
\Rightarrow 3 x \times 5 x=2160 \\ \Rightarrow 15 x^2=2160 \\ \Rightarrow x^2=\frac{2160}{15}=144 \\ \Rightarrow x=\sqrt{144}=12
छोटी संख्या=3x=3×12=36
विकल्प (a) सही है।
Illustration:17.वह व्यंजक,जिसे (x+1) द्वारा विभाजित किए जाने पर भागफल (x^2-x+1) तथा शेष 3 होता है,किसके बराबर है?
(a) x^3-2  (b) x^3-1  (c) x^3+2  (d) x^3+4
Solution:व्यंजक=(x+1) \left(x^2-x+1\right)+3 \\ =x^3+1+3=x^3+4
विकल्प (d) सही है।
Illustration:18.यदि किसी संख्या का तीन-गुना,इस संख्या के \frac{3}{5} से 60 अधिक हो,तो वह संख्या है:
(a) 25 (b) 35 (c) 45 (d) 60
Solution:माना संख्या=x
3 x=\frac{3}{5} x+60 \\ \Rightarrow 3 x-\frac{3}{5} x=60 \\ \Rightarrow \frac{12 x}{5}=60 \\ \Rightarrow x=60 \times \frac{5}{12}=25
विकल्प (a) सही है।
Illustration:19.दो संख्याओं में 5 का अन्तर है।यदि उनका गुणनफल 336 हो,तो उन संख्याओं का योग है:
(a) 21 (b) 37 (c) 28 (d) 51
Solution:माना संख्याएँ=x,x+5
x(x+5)=336 \\ \Rightarrow x^2+5 x-336=0 \\ \Rightarrow x^2+21 x-16 x-336=0 \\ \Rightarrow x(x+21)-16(x+2)=0 \\ \Rightarrow(x-16)(x+21)=0 \\ \Rightarrow x+21=0 असम्भव है।
x-16=0 \\ \Rightarrow x=16
x+5=16+5=21
संख्याओं का योग=16+21=37
विकल्प (b) सही है।
Illustration:20.किसी संख्या को 24 से भाग देने पर शेषफल 16 आता है।तदनुसार यदि उसी संख्या को 12 से भाग दिया जाए,तो शेषफल क्या होगा?
(a) 3 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Solution:12 से भाग देने पर शेषफल=\frac{16}{12}
4
विकल्प (b) सही है।
Illustration:21.दो अंकों की संख्या में इकाई का अंक दहाई के अंक का दोगुना है।यदि अंकों को परस्पर बदल दिया जाए,तो नयी संख्या पुरानी संख्या से 27 अधिक होगी।पुरानी संख्या क्या है?
(a) 24 (b) 36 (c) 48 (d) 63
Solution:माना दहाई का अंक=x
इकाई का अंक=2x
संख्या=10x+2x=12x
10 \times 2x+x=12x+27 \\ \Rightarrow 20 x+x-12 x=27 \\ \Rightarrow 9 x=27 \Rightarrow x=\frac{27}{9}=3
संख्या=12x=12×3=36
विकल्प (b) सही है।
Illustration:22.एक संख्या के \frac{2}{3} में से 50 घटाने पर परिणाम 40 तथा संख्या के \frac{1}{4} के जोड़ के बराबर होता है,तो संख्या क्या होगी?
(a) 336 (b) 246 (c) 174 (d) 216 (e) इनमें से कोई नहीं
Solution:माना संख्या=x
\frac{2x}{3}-50=40+\frac{1}{4} x \\ \Rightarrow \frac{2 x}{3}-\frac{1}{4} x=50+40 \\ \Rightarrow \frac{8 x-3 x}{12}=90 \Rightarrow \frac{5 x}{12}=90 \\ \Rightarrow x=\frac{90 \times 12}{5}=216
विकल्प (d) सही है।
Illustration:23.दो संख्याओं का अन्तर 1660 है।यदि एक संख्या का 6 \frac{1}{2} % दूसरी संख्या के 8 \frac{1}{2} % बराबर है,तो छोटी संख्या है:
(a)7055 (b)5395 (c)3735 (d)2075
Solution:माना संख्याएँ x,x+1660
x \times 8\frac{1}{2} \%=(x+1660) \times 6 \frac{1}{2} \% \\ \Rightarrow \frac{17 x}{200}=(x+1660) \times \frac{13}{200} \\ \Rightarrow 17 x-13 x=1660 \times 13 \\ \Rightarrow \quad x=\frac{1660 \times 13}{4}=5395
विकल्प (b) सही है।
Illustration:24.तीन संख्याओं में पहली संख्या दूसरी संख्या की दोगुनी तथा तीसरी संख्या की तिगुनी है।तीनों संख्याओं का औसत 88 है।सबसे छोटी संख्या क्या होगी?
(a) 45 (b) 48 (c)52 \frac{1}{3} (d) 29 \frac{1}{3}
Solution:माना दूसरी संख्या=x
पहली संख्या=2x,तीसरी संख्या=\frac{2 x}{3}
औसत=\frac{x+2 x+\frac{2 x}{3}}{3}=\frac{3 x+6 x+2 x}{9} \\ \Rightarrow \frac{11 x}{9}=88 \\ \Rightarrow x=\frac{88 \times 9}{11}=72
छोटी संख्या=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3} \times 72=48
विकल्प (b) सही है।
Illustration:25.दो संख्याओं का गुणनफल 45 है।उनके वर्ग का योग 106 है,तो संख्याएँ क्या होंगी?
(a) 5 तथा 9 (b) 3 तथा 5 (c) 45 तथा 1 (d) 5 तथा 19 (e) इनमें से कोई नहीं
Solution:माना संख्याएँ x,y
x y=45 \cdots(1) \\ x^2+y^2=106 \cdots(2) \\ \Rightarrow (x+y)^2=x^2+y^2+2 x y=106+2 \times 45 \\ \Rightarrow x+y=\sqrt{196} \\ \Rightarrow x+y=14 \cdots(3) \\ \Rightarrow (x-y)^2=x^2+y^2-2 x y=106-2 \times 45=16 \\ \Rightarrow (x-y)=\sqrt{16}=4 \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) सेः
x=9,y=5
विकल्प (a) सही है।
Illustration:26.दो अंकों वाली एक संख्या और उसके अंक उलट देने पर प्राप्त होने वाली संख्या का योग एक वर्ग संख्या है।तदनुसार इस प्रकार की कुल संख्याएँ हैं?
(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8
Solution:माना इकाई का अंक=x
दहाई का अंक=y
संख्या=10y+x
10y+x+10x+y=11x+11y=11(x+y)
x+y=(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5),(7,4),(8,3),(9,2)=आठ
विकल्प (d) सही है।
Illustration:27.एक परीक्षा में एक छात्र को किसी संख्या का \frac{3}{14} ज्ञात करने के लिए कहा गया।गलती से उसने उसका \frac{3}{4} निकाल लिया।उसका उत्तर सही उत्तर से 150 अधिक था।दी गई संख्या है:
(a) 180 (b) 240 (c) 280 (d) 290
Solution:माना संख्या=x
\frac{3}{4} x-\frac{3}{14} x=150 \\ \Rightarrow \frac{42 x-12 x}{56}=150 \\ \Rightarrow \frac{30 x}{56}=150 \\ \Rightarrow x=\frac{150 \times 56}{30} \\ \Rightarrow x=280
विकल्प (c) सही है।
Illustration:28.दो संख्याओं का योग 29 है व उन संख्याओं के वर्गों का अन्तर 145 है।उन संख्याओं का अन्तर है:
(a) 13 (b) 5 (c) 8 (d) 11
Solution:माना संख्याएँ=x,y
x+y=29 , x^2-y^2=145 \\ \Rightarrow(x-y)(x+y)=145 \\ \Rightarrow 29(x-y)=145 \\ \Rightarrow (x-y)=\frac{145}{25}=5
विकल्प (b) सही है।
Illustration:29.दो संख्याओं का गुणनफल 45 है और उनका अन्तर 4 है।तदनुसार उन संख्याओं के वर्गों का योग कितना होगा?
(a) 135 (b) 240 (c) 173 (d) 106
Solution:माना संख्याएँ x,y हैं।
x y=45 \cdots(1), x-y=4 \cdots(2) \\ (x-y)^2=x^2+y^2-2 x y \\ \Rightarrow (4)^2=x^2+y^2-2 \times 45 \\ \Rightarrow x^2+y^2=106
विकल्प (d) सही है।
Illustration:30.यदि दो संख्याओं में से बड़ी संख्या के तीन गुने को छोटी संख्या से भाग दिया जाए तो भागफल व शेषफल प्रत्येक 6 है।यदि छोटी संख्या के पाँच गुने को बड़ी संख्या से भाग दिया जाए,तो भागफल 2 व शेषफल 3 आता है।बड़ी संख्या है:
(a) 16 (b) 18 (c) 14 (d)15
Solution:माना बड़ी संख्या x है तथा छोटी संख्या y है।
\frac{3 x-6}{y}=6 \\\Rightarrow 3 x-6 y=6 \\ \Rightarrow x-2 y=2 \cdots(1) \\ \\ \frac{5 y-3}{x}=2 \\ \Rightarrow 2 x-5 y=-3 \ldots (2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर:
x =16
विकल्प (a) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों द्वारा आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equation in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations) को समझ सकते हैं।

3.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण की समस्याएँ (Equation in Quantitative Aptitude Problems):

Equation in Quantitative Aptitude

(1.)दो संख्याओं का योग 20 तथा अन्तर 2 है,तो उनके वर्गों का योग क्या होगा?
(a) 160 (b) 2184 (c) 202 (d) 196
(2.)दो अंकों की एक संख्या में इकाई का अंक दहाई के अंक से 2 अधिक है।अंकों के योगफल का चार गुना संख्या से 3 कम है,वह संख्या है:
(a) 35 (b) 57 (c) 46 (d) 68
उत्तर (Answers): (1.) (c) x^2+y^2=202 (2.) (a)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equation in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Equation in Quantitative Aptitude),समीकरण (Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

आंकिक अभियोग्यता में समीकरण (Equation in Quantitative Aptitude) के इस आर्टिकल
में रैखिक समीकरणों,द्विघात समीकरणों,दो चरवाली रैखिक समीकरण पर आधारित सवालों
को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।