1.सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation):

Coefficient of Variation

सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics) के इस आर्टिकल में कुछ सवालों को हल करके विचरण गुणांक और प्रमाप विचलन ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.सांख्यिकी में विचरण गुणांक के साधित उदाहरण (Coefficient of Variation in Statistics Solved Illustrations):

Illustration:1.निम्न श्रेणी में माध्य और प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
(In the following series calculate the mean and standard deviation):

शुद्धता की चार्लियर जाँच का भी प्रयोग कीजिए।
(Also apply charlier’s check.):
Solution:Calculation Table of Mean and Standard Deviation

समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\sum f x}{\Sigma f}=\frac{3100}{100}=31
माध्य विचलन
(\delta_{\bar{x}})=\frac{\sum f|d \overline{X}|}{\sum f} \\ =\frac{1300}{100}=13
प्रमाप विचलन
(\sigma)=\sqrt{\frac{\sum f d^2}{N}} \\ =\sqrt{\frac{25400}{100}} \\ =\sqrt{254} \approx 15.937 \\ \approx 15.93
Illustration:2.किसी फर्म के उत्पादन में से 5 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श लिया गया।पाँचों वस्तुओं की लम्बाई तथा उनका भार निम्नलिखित है:
(A sample of 5 items was taken from output of a factory.The lengths and weight of 5 items are given below)’

इन दो विशेषताओं के विचरण-गुणांक की तुलना करके निष्कर्ष निकालिए कि किसमें विचरण अधिक है।
(By comparing the coefficient of variation of the two characteristics state which one is more variable):
Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation

Lengths
समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{\sum x}{N}=\frac{30}{5}=6 \\ \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{N}}=\sqrt{\frac{30}{5}}=\sqrt{6} \approx 2.449 \\ \Rightarrow \sigma \approx 2.449
C.V. of Length =\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{2.449 \times 100}{6} \approx 40.816 \% \\ \approx 40.8 \%
Weight
समान्तर माध्य
(\overline{X})=\frac{65}{5}=13 \\ \sigma=\sqrt{\frac{\sum d^2}{N}}=\sqrt{\frac{34}{5}} \approx 2.6076 \\ \sigma \approx 2.6076
C.V. of Weight=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{2.6076}{13} \times 100 \approx 20.058 \% \\ \approx 20 \%
लम्बाई में विचरण अधिक है।
Illustration:3.निम्नलिखित श्रेणियों द्वारा प्रमाप विचलन-गुणांक निकालिए और उसके आधार पर टिप्पणी कीजिए कि उन श्रेणियों में से किसमें अधिक विचरण है:
(From the following data find the coefficients of standard deviation and on that basis state which of the two series is more variable):

Solution:Calculation Table of Standard Deviation

Series A:
समान्तर माध्य
\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{2517}{10}=251.7
मानक विचलन (\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{63025}{10}-\left(\frac{667}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{630250-444889}{100}} \\ =\sqrt{\frac{185361}{100}} \\ =\sqrt{1853.61} \approx 43.053
मानक विचलन गुणांक (Standard Deviation Coefficient)\frac{\sigma}{\overline{X}} \\ =\frac{43.053}{251.7} \\ \approx 0.171
Series B:
समान्तर माध्य
\overline{X}=A+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =125-\frac{186}{10} \\=125-18.6 \\ \Rightarrow \overline{X}=106.4
मानक विचलन \sigma=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}-\left(\frac{\Sigma d x}{N}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{5842}{10}-\left(\frac{-186}{10}\right)^2} \\ =\sqrt{\frac{58420-34596}{100}} \\ =\sqrt{\frac{23824}{100}}=\sqrt{238.24} \\ \approx 15.435
मानक विचलन गुणांक (Coefficient of Standard Deviation Series B) =\frac{15.435}{106.4} \approx 0.145
Series A में विचरण अधिक है।
Illustration:4.दो विद्यार्थी जिन्होंने समान विषय लिया था निम्नलिखित अंक प्राप्त करते हैं।ज्ञात कीजिए कि उनमें कौन अधिक संगत है?
(Two students offering the same course obtain the following marks.Find who is more consistent?):

Solution:Calculation Table of Standard Deviation

A
समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =56+\frac{0}{10}=56
प्रमाप विचलन (\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}} \\ = \sqrt{\frac{1376}{10}} \\=\sqrt{137.6} \\ \sigma \approx 11.73
C.V. of A=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{11.73}{56} \times 100 \approx 20.94 \%
B
समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\Sigma d x}{N} \\ =68+\frac{0}{10}=68
प्रमाप विचलन (\sigma) =\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}} \\ =\sqrt{\frac{2936}{10}}=\sqrt{293.6} \\ \approx 17.134
C.V. of B =\frac{17.134}{68} \times 100 \approx 25.197 \%

Coefficient of Variation

Illustration:5.A और B दो बल्लेबाजों की विभिन्न पारियों में दौड़-संख्या निम्न है:
(The number of runs scored by two batsmen A and B in different innings,is as follows):

दोनों में कौन अच्छा दौड़ बनाने वाला है? कौन अधिक संगत है?
(Who is the better run-getter? Who is more consistent?):
Solution:Calculation Table of Standard Deviation

समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma X}{N} \\ \Rightarrow \overline{X}=\frac{500}{10}=50
प्रमाप विचलन (\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}} \\ =\sqrt{\frac{17498}{10}}=\sqrt{1749.8} \approx 41.8306 \\ \Rightarrow \sigma \approx 41.8306
C.V. of A=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{41.8306}{50} \times 100 \\ \approx 83.66 \%
B
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{330}{10}=33
मानक विचलन (\sigma)=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}} \\ =\sqrt{\frac{5462}{10}}=\sqrt{5462} \\ \Rightarrow \sigma \approx 23.3709
C.V. of B=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{23.3709}{33} \times 100 \\ \approx 170.82 \%
B अधिक संगत है।A(50),B(33) से अधिक अच्छा दौड़ बनाने वाला
Illustration:6.एक फुटबॉल-सत्र में दो टीमों-A व B -द्वारा विभिन्न मैचों में किये गये गोल निम्न प्रकार हैं:
(Goals scored by two teams- A and B in a football season were as follows):

ज्ञात कीजिए कि कौन-सी टीम का खेल अधिक संगत माना जा सकता है।
(Find which team may be considered more consistent.)
Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation

Team A:
औसत गोल : \overline{X}=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =2+\left(-\frac{50}{53}\right)=1.06 \text { goals }
मानक विचलन
\sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \cdot N-(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{53} \sqrt{7314-2500} \\ \approx \frac{1}{53} \times 69.38 \approx 1.309 \text { goal }
C. V. of A=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100=\frac{1.309}{1.06} \times 100 \\ \approx 123.49 \%
Team B :
\overline{X}=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =2+\frac{(-32)}{40} \\ \Rightarrow \overline{X}=2-0.8=1.2 \text { goals }
मानक विचलन
\sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \cdot N-(\Sigma f d x)^2} \\ \\ =\frac{1}{40} \times \sqrt{94 \times 40-(-32)^2} \\ \approx \frac{1}{40} \times 52.31 \approx 1.309 \text { goals }
C. V. of B=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100=\frac{1.309}{1.20} \times 100 \\ \approx 109 \%
B का खेल अधिक संगत है।
Illustration :7.निम्न सारणी से प्रमाप विचलन और विचरण गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data find the standard and coefficient of variation):

Solution:Calculation Table of Standard Deviation

समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =35+\left(\frac{1250}{230}\right) \\ \approx 35+5.43 \approx 40.43
प्रमाप विचलन (\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2x \times N-(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{230} \sqrt{75300 \times 230-(1250)^2} \\ =\frac{1}{230} \sqrt{17319000-1562500} \\ =\frac{1}{230} \sqrt{15756500} \\ \approx \frac{1}{230} \times 3969.4458 \\ \approx 17.258 \approx 17.26
C.V.=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{17.26}{40.43} \times 100 \approx 42.69 \%
Illustration:8.नीचे संसद के 542 सदस्यों का आयु के अनुसार बंटन दिया गया है।इसका प्रमाप विचलन और विचरण गुणांक ज्ञात कीजिए:
(The following is the age-distribution of 542 members of parliament.Find the standard deviation and coefficient of variation):

Solution:Calculation Table of Standard Deviation

समान्तर माध्य (\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =55-\frac{150}{542} \\ \approx 55-0.276 \\ \approx 54.724 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 54.72
प्रमाप विचलन (\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{ \Sigma f d^2 x \times N-(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{542} \sqrt{76500 \times 542-(-150)^2} \\ =\frac{1}{542} \sqrt{41463000-22500} \\ =\frac{1}{542} \times \sqrt{41440500} \\ \approx \frac{1}{542} \times 6437.4296 \\ \approx 11.877 \\ \Rightarrow \sigma \approx 11.88
C.V.=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{11.88}{54.72} \times 100 \approx 21.71 \%
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में विचरण गुणांक पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Coefficient of Variation in Statistics):

Coefficient of Variation

(1.)एक वस्तु से सम्बन्धित दो शहरों में गत पाँच वर्षों के मूल्य निम्नवत् थे।यह बतलाइए कि किस शहर के मूल्यों में अधिक स्थिरता थी?
(The prices of a particular commodity for five years in two cities are as under,which city had more stable prices?)

(2.)निम्न श्रेणी में विचरण गुणांक तथा प्रसरण की तुलना कीजिए:
(Calculate coefficient of variation from the following series):

उत्तर (Answers):(1.) City A: \overline{X}=20 , \sigma=2.45, C.V.=12.25
City B : \overline{X}=15, \sigma=3.69, C.V.=24.6 %
A शहर के मूल्यों में अधिक स्थिरता है।
(2.) \overline{X}=31.2, \sigma=15.54 , C.V.=49.81 %
Variance =\sigma^2=241.49 marks
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics),सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Frequently Asked Questions Related to Coefficient of Variation in Statistics),सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में विचरण गुणांक (Coefficient of Variation in Statistics) के इस आर्टिकल
में कुछ सवालों को हल करके विचरण गुणांक और प्रमाप विचलन ज्ञात करना सीखेंगे।