1.सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य (Average and Geometric Mean in Statistics):

Average and Geometric Mean in Statistics

सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य (Average and Geometric Mean in Statistics) के इस आर्टिकल में समान्तर माध्य,गुणोत्तर माध्य,हरात्मक माध्य ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करेंगे और उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य के साधित उदाहरण (Average and Geometric Mean in Statistics Solved Examples):

Example:1.एक कम्पनी के सभी कर्मचारियों का औसत वार्षिक वेतन 5000 रु. था।पुरुष और स्त्री कर्मचारियों का औसत वार्षिक वेतन क्रमशः 5200 रु. और 4200 रु. था।कम्पनी के कर्मचारियों में पुरुषों और स्त्रियों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
(The mean annual salary paid to all employees of a company was Rs. 5,000.The mean annual salaries paid to male and female employees were Rs. 5200 and Rs. 4200 respectively.Determine the percentage of males and females employed by the company.):
Solution:N=100%,माना N_1=x, N_2=100-x\\ \bar{X}_{12}=5000, \bar{X}_1=5200, \bar{X}_2=4200 \\ \bar{X}_{12}=\frac{\bar{X}_1 N_1+\bar{X}_2 N_2}{N} \\ \Rightarrow 5000=\frac{5200 \times x+4200(100-x)}{100} \\ \Rightarrow 500000=5200 x+420000-4200 x \\ \Rightarrow 1000 x=500000-420000 \\ \Rightarrow x=\frac{80000}{1000}=80
पुरुष=80%,महिला=20%
Example:2.किसी वस्तु की कीमत पिछले माह की तुलना में मई 1977 में 9%,जून में 12% और जुलाई 1977 में 16% बढ़ गई।औसत प्रतिशत वृद्धि दर ज्ञात कीजिए और अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
(The price of an article increased over the preceding month by 9% in May 1977,12% in June and 16% in July 1977.Find the average percentage rate of increase and verify your result.):
Solution: Calculation Table of Geometric Mean
\begin{array}{|cccc|} \hline \text{Month} &  \text { Increase Rate } & \text { Increased value } & \\ & & (X) & \log X\ \\ \hline \text { May } & 9 \% & 109 & 2.0374 \\ \text { June } & 12 \% & 112 & 2.0492 \\ \text { July } & 16 \% & 116 & 2.0645 \\ \hline N=3 & & & \Sigma \log X=6.1511 \\ \hline \end{array} \\ \text { GM }=\text { Antilog }\left(\frac{\sum \log X}{N}\right) \\ =\text { Antilog }\left(\frac{6.1511}{3}\right) \\ \approx \text { Antilog }(2.0504) \\ \approx 112.3 \\ \Rightarrow 112.3-100=12.3 \%
Example:3.25 विद्यार्थियों का औसत वजन 78.4 पौण्ड था।बाद में पता चला कि एक विद्यार्थी का वजन 96 पौण्ड के स्थान पर गलती से 69 पौण्ड लिखा गया।ठीक औसत ज्ञात कीजिए।
(The average weight of a group of 25 boys was calculated to be 78.4 lbs.It was later discovered that one weight was missread as 69 lbs. instead of the correct value 96 lbs. Calculate the correct average.)
Solution:25 विद्यार्थियों का ठीक औसत (Corrected)
\overline{X}=\frac{78.4 \times 25-69+96}{25} \\ =\frac{1960-69+96}{25}=\frac{1987}{25} \\ \Rightarrow \text { corrected } \overline{X}=79.48 pounds
Example:4.आप एक यात्रा पर जा रहे हैं जिसमें 900 मील रेलगाड़ी से जाना है जिसकी गति 60 मील प्रति घण्टा है,3000 मील नाव से जाना है जिसकी गति 25 मील घण्टा है,400 मील हवाई जहाज से जाता है जिसकी गति 350 मील प्रति घण्टा है।पूरी दूरी (4315 मील) के लिए आपकी औसत गति क्या होगी?
(You take a trip which entails travelling 900 miles by train at an average speed of 60 miles per hour. 3000 miles by boat at an average of 25 m.p.h. 400 miles by plane at 350 m.p.h. and finally 15 miles by taxi at 25 m.p.h.What is your average speed for the entire distance?):
Solution:दर में समय अचल तथा दूरी चल है।प्रश्न में दूरी चल है अतः भारित हरात्मक माध्य ज्ञात किया जाएगा।
Calculation Table of Harmonic Mean
\begin{array}{|ccccc|} \hline \begin{array}{c} \text{speed miles} \\ \text{per hours} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Distance} \\ \text{covered} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Reciprocal of} \\ X \end{array} & \begin{array}{c} \text{Reciprocal X} \cdot W \end{array} \\ \hline 60 & 900 & 1 \div 60=0.01667 & 15.003 \\ 25 & 3000 & 1 \div 25=0.04 & 120 \\ 350 & 400 & 1 \div 350=0.00236 & 1.144 \\ 25 & 15 & 1 \div 25=0.04 & 0.6 \\ \hline \text { Total } & \Sigma W=4315 & & \Sigma \text {Reci.}X.W=136.747 \\ \hline \end{array}
भारित हरात्मक माध्य
(h_w)=\text { Reciprocal of }\left[\frac{\text { Reci. }X W}{\Sigma W}\right] \\ =\text {Reciprocal of } \left[\frac{136.747}{4315}\right] \\ =\text { Reciprocal of }(0.03169) \\ \Rightarrow h_w \approx 31.56 m.p.h.

Average and Geometric Mean in Statistics

Example:5.भारत की जनसंख्या 1961 में 43.9 करोड़ थी जो बढ़कर 1971 में 54.7 करोड़ हो गई।वृद्धि की चक्रवृद्धि प्रतिशत दर प्रतिवर्ष ज्ञात कीजिए।
(The population of India was 43.9 crores in 1961 which increased to 54.7 crores in 1971.Obtain the average compound percentage rate of increase.)
Solution: P_0=43.9 \text { crores, } P_N=54.7 \text { crores } \\ N=1971-1961=10 \\ r=\sqrt[N]{\frac{P_N}{P_0}}-1 \\ =\text { Antilog }\left(\frac{\log 54.7-\log 43.9}{10}\right)-1 \\ =\text { Antilog }\left(\frac{1.7380-1.6425}{10}\right)-1 \\ =\text { Antilog }\left(\frac{0.0955}{10}\right)-1 \\ =\text { Antilog }(0.00955)-1 \\ \approx 1.022-1 \\ \approx 0.022 \\ \Rightarrow r \approx 0.022 \times 100 \% \approx 2.2 \%
Example:6.किसी श्रेणी के समान्तर माध्य पर क्या प्रभाव पड़ेगा यदि उसके प्रत्येक पद-मूल्य में एक अचर-मूल्य a (क)जोड़ दिया जाए;(ख)घटा दिया जाए अथवा प्रत्येक पद-मूल्य को उस अचर-मूल्य a से (ग)गुणा कर दिया जाए;(घ) भाग दे दिया जाए।उदाहरण द्वारा स्पष्ट कीजिए।
(How will the arithmetic mean by affected by (a)adding a constant ‘a’ to every item;(b)subtracting a from every item; (c)multiplying every item by a, and (d)driving every item by a. Illustrate by an example.)
Solution:माना \overline{X}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}
(ख) \overline{X}_1=\frac{x_1+a+x_2+a+x_3+a}{3} \\ =\frac{x_1+x_2+x_3+3 a}{3} \\ =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}+a \\ \Rightarrow \overline{X}_1=\overline{X}+a
(ख)\overline{X}_2=\frac{x_1-a+x_2-a+x_3-a}{3} \\ =\frac{x_1+x_2+x_3-3 a}{3} \\ =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}-a \\ \Rightarrow \overline{X}_2=\overline{X}-a
(ग)\overline{X}_3=\frac{x_1 \cdot a+x_2 \cdot a+x_3 \cdot a}{3} \\ =a\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right) \\ \Rightarrow \overline{X}_3=\overline{X} \cdot a
(ब) \overline{X}_4=\frac{\frac{x_1}{a}+\frac{x_2}{a}+\frac{x_3}{a}}{3} \\ =\frac{\frac{1}{a} \left(x_1+x_2+x_3\right)}{3} \\ =\frac{1}{a}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\right) \\ \overline{X}_4 =\frac{\overline{X}}{a}=\overline{X} \div a
Example:7.निम्न अंकों से वर्गकरणी माध्य ज्ञात कीजिए:
(Calculate the quadratic mean from the following data):
3,5,6,-6,7,10,12
Solution:वर्गकरणी माध्य (Q.M.)
\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2}{N}} \\ =\sqrt{\frac{(3)^2+(5)^2+(6)^2+(-6)^2+(7)^2+(10)^2+(12)^2}{7}} \\ =\sqrt{\frac{9+25+36+36+49+100+144}{7}} \\ =\sqrt{\frac{399}{7}}=\sqrt{57} \approx 7.549 \\ \Rightarrow \text{Q.M} \approx 7.55
Example:8.वे दो मूल बताइए जिनका समान्तर माध्य 9 और गुणोत्तर माध्य 7.2 हो।उनका हरात्मक माध्य क्या होगा?
(Find the two values whose arithmetic mean and geometric mean are 9 and 7.2 respectively. What will be their harmonic mean?):
Solution:माना दो मूल्य हैं।
\overline{X}=\frac{x_1+x_2}{2} \\ \Rightarrow 9=\frac{x_1+x_2}{2} \\ \Rightarrow x_1+x_2=18\cdots(1)
गुणोत्तर माध्य
GM=\sqrt{x_1 x_2}\\ \Rightarrow 7.2=\sqrt{x_1 x_2} \\ \Rightarrow x_1 x_2=51.84 \\ x_1-x_2 =\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2} \\ =\sqrt{(18)^2-4 \times 51.84} \\ =\sqrt{324-207.36} \\ =\sqrt{116.64} \\ \Rightarrow x_1-x_2=10.8 \cdots(2)
(1) व (2) को जोड़ने पर:
2 x_1=28.8 \\ \Rightarrow x_1=\frac{28.8}{2}=14.4
का मान समीकरण (1) में रखने परः
14.4+x_2=18 \\ \Rightarrow x_2=18-14.4 \\ \Rightarrow x_2=3.6 \\ x_1 =14.4, x_2=3.6
H.M.=\frac{2}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}=\frac{2}{\frac{1}{14.4}+\frac{1}{3.6}}=\frac{2}{\frac{1+4}{14.4}} =\frac{28.8}{5} \Rightarrow \text{H.M.}=5.76
Example:9.यह सिद्ध कीजिए कि एक थर्मामीटर के पाठ्यांकों का समान्तर माध्य ज्ञात करने में इस बात से कोई अन्तर नहीं पड़ता कि तापक्रम सेन्टीग्रेड में नापा जाता है या फारनहाइट अंशों में,परन्तु उन पाठ्यांकों का गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने में विभिन्न मापदण्डों में अन्तर पड़ जाता है।
(Show that in the finding the arithmetic mean of a set of readings on a thermometer, it does not matter whether we measure the temperature in centigrade or fahrenheit degrees, but that in finding the geometric mean it does matter.)
Solution:- F=C \times \frac{9}{5}+32
\overline{X} in { }^{\circ} C (\overline{C})=\frac{\Sigma C}{N}
\overline{X} in { }^{\circ} F=\frac{\Sigma F}{N}=\frac{\Sigma\left(C \times \frac{9}{5}+ 32\right)}{N} \\ =\frac{9}{5} \frac{\Sigma C}{N}+\frac{\Sigma 32}{N} \\ =\frac{9}{5} \bar{C}+\frac{32 N}{N}
\Rightarrow \overline{X} in { }^{\circ} F =\frac{9}{5} \overline{C}+32
G.M.in { }^{\circ} C=\left(C_1 \times C_2 \times \ldots C_N\right)^{\frac{1}{N}}
G.M. in { }^{\circ} F=\frac{9}{5} \cdot\left(C_1 C_2 \ldots C_N\right)^{\frac{1}{N}}+32
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य (Average and Geometric Mean in Statistics) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Average and Geometric Mean in Statistics):

Average and Geometric Mean in Statistics

(1.)यदि किसी समूह में चार पद हों जिनके मूल्य 2,4,5,10 हों तो उनका द्विघातीय माध्य ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि दो संख्याओं का समान्तर माध्य 10 है और उनका गुणोत्तर माध्य 8 है तो (क)उनका हरात्मक माध्य निकालिए; (ख) उन दोनों संख्याओं का मूल्य बताइए।
उत्तर (Answers):(1.)Q.M.=6.02 (2.)दोनों संख्याएँ हैं:16,4 तथा H.M.=6.4
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य (Average and Geometric Mean in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य (Frequently Asked Questions Related to Average and Geometric Mean in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में औसत और गुणोत्तर माध्य (Average and Geometric Mean in Statistics) के इस
आर्टिकल में समान्तर माध्य,गुणोत्तर माध्य,हरात्मक माध्य ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल
करेंगे और उन्हें समझने का प्रयास करेंगे।