1.अपवर्त्य और अपवर्तक कोण (Multiple and Sub-Multiple Angle),कोण A के त्रिकोणमितीय अनुपातों को A/2 के पदों में ज्ञात करना (To Find Trigonometrical Ratios of Angle A in Terms of Angle A/2):

Multiple and Sub-Multiple Angle

अपवर्त्य और अपवर्तक कोण (Multiple and Sub-Multiple Angle) के इस आर्टिकल में कोण A के द्वारा कोण A/2 के मान ज्ञात करने वाले त्रिकोणमितीय सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Trigonometrical Sub-Multiple Angles

2.अपवर्त्य और अपवर्तक कोण पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Multiple and Sub-Multiple Angle):

Illustration:1.यदि \cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}} हो,तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
Illustration:1(i). \sin 22 \frac{1}{2}^{\circ}
Solution: \sin 22 \frac{1}{2}^{\circ} \\ \sin \frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}
22 \frac{1}{2}^{\circ} प्रथम चतुर्थांश में है अतः धनात्मक मान लेंगे:
Illustration:1(ii). \cos 22 \frac{1}{2}^{\circ}
Solution: \cos 22 \frac{1}{2}^{\circ} \\ \cos \frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}
22 \frac{1}{2}^{\circ} प्रथम चतुर्थांश में है अतः धनात्मक मान लेंगे:
\cos 22 \frac{1}{2}^{\circ} =\sqrt{\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} \\ =\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2 \sqrt{2}}} \\ =\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}} \\ \Rightarrow \cos 22 \frac{1}{2}^{\circ} =\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2}}
Illustration:1(iii). \tan 22 \frac{1}{2}^{\circ}
Solution: \tan 22 \frac{1}{2}^{\circ} \\ \tan \frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}
22 \frac{1}{2}^{\circ} प्रथम चतुर्थांश में है अतः धनात्मक मान लेंगे:
\tan 22 \frac{1}{2}^{\circ}=\sqrt{\frac{1-\cos 45^{\circ}}{1+\cos 45^{\circ}}} \\ =\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}} \\ =\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}} \\ =\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}} \\ =\frac{\sqrt{2-1}}{\sqrt{(2-1)}} \\ \Rightarrow \tan 22 \frac{1}{2}^{\circ}=\sqrt{2}-1
Illustration:2.यदि \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} हो,तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
Illustration:2(i). \sin 15^{\circ}
Solution: \sin 15^{\circ} \\ \cos \frac{A}{2}+\sin \frac{A}{2}= \pm \sqrt{1+\sin A} \cdots(1) \\ \cos \frac{A}{2}-\sin \frac{A}{2}= \pm \sqrt{1-\sin A} \cdots(2)
15^{\circ} प्रथम चतुर्थांश में है अतः धनात्मक मान लेकर घटाने पर:
\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}[\sqrt{1+\sin A}-\sqrt{1-\sin A}] \\ \sin 15^{\circ} =\frac{1}{2} \left[\sqrt{1+\sin 30^{\circ}}- \sqrt{1-\sin 30^{\circ}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+\frac{1}{2}}-\sqrt{1-\frac{1}{2}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right] \\ \Rightarrow \sin 15^{\circ} =\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}
Illustration:2(ii). \cos 15^{\circ}
Solution: \cos 15^{\circ} \\ \cos \frac{A}{2}+\sin \frac{A}{2}= \pm \sqrt{1+\sin A} \cdots(1) \\ \cos \frac{A}{2}-\sin \frac{A}{2}= \pm \sqrt{1-\sin A} \cdots(2)
15^{\circ} प्रथम चतुर्थांश में है अतः धनात्मक मान लेकर जोड़ने पर:
\cos \frac{A}{2} =\frac{1}{2}[\sqrt{1+\sin A}+\sqrt{1-\sin A}] \\ \Rightarrow \cos 15^{\circ} =\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+\sin 30^{\circ}}+\sqrt{1-\sin 30^{\circ}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+\frac{1}{2}} +\sqrt{1-\frac{1}{2}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right] \\ \Rightarrow \cos 15^{\circ} =\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}
Illustration:2(iii). \tan 15^{\circ}
Solution: \tan 15^{\circ} \\ \tan 15^{\circ} =\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}} \\ =\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}} \\ \Rightarrow \tan 15^{\circ} =\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}

Multiple and Sub-Multiple Angle

Illustration:3.यदि \sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} हो,तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
Illustration:3(i). \sin 9^{\circ}
Solution: \sin 9^{\circ} \\ \cos 18^{\circ}=\sqrt{1-\sin ^2 18^{\circ}} \\ = \sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2} \\ =\sqrt{1-\left(\frac{5+1-2 \sqrt{5}}{16}\right)} \\ =\sqrt{\frac{16-5-1+2 \sqrt{5}}{16}} \\ =\sqrt{\frac{10+2 \sqrt{5}}{16}} \\ \Rightarrow \cos 18^{\circ}= \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}} \\ 1-2 \sin ^2 9^{\circ}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}} \\ \Rightarrow 2 \sin ^2 9^{\circ} =1-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}} \\ =1-\sqrt{\frac{10+2 \sqrt{5}}{16}} \\ =\frac{4-\sqrt{10+2 \sqrt{5}}}{4} \\ \Rightarrow \quad \sin 9^{\circ} =\sqrt{\frac{4-\sqrt{10+2 \sqrt{5}}}{8}}
Illustration:3(ii). \cos 9^{\circ}
Solution: \cos 9^{\circ} \\ \cos \frac{A}{2}+\sin \frac{A}{2}=\sqrt{1+\sin A} \cdots(1) \\ \cos \frac{A}{2}-\sin \frac{A}{2}=\sqrt{1-\sin A} \cdots(2)
जोड़ने परः
\cos \frac{A}{2}=\frac{1}{2}[\sqrt{1+\sin A}+\sqrt{1-\sin A}] \\ \cos 9^{\circ}=\frac{1}{2} \left[\sqrt{1+\sin 18^{\circ}}+\sqrt{1-\sin 18^{\circ}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+\frac{\sqrt{5}-1}{4}}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left[\sqrt{\frac{4+\sqrt{5}-1}{4}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{5}+1}{4}}\right] \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2}\right) \\ \Rightarrow \cos 9^{\circ}= \frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{5-\sqrt{5}}}{4}
Illustration:4.यदि \cos 330^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} हो,तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिएः
Illustration:4(i). \sin 165^{\circ}
Solution: \sin 165^{\circ} \\ \sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \\ \sin 165^{\circ}=\sqrt{\frac{1-\cos 330^{\circ}}{2}} \\ =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\ =\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} \\ =\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{8}} \\ =\frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(1)^2-2 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2}} \\ =\frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{2 \sqrt{2}} \\ \Rightarrow \sin 165^{\circ} =\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}
Illustration:4(ii). \cos 165^{\circ}
Solution: \cos \frac{A}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \\ \cos 165^{\circ}=-\sqrt{\frac{1+\cos 330^{\circ}}{2}} \\ =-\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \\ =-\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} \\ =-\sqrt{\frac{4+2 \sqrt{3}}{8}} \\ =-\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{8}} \\ \Rightarrow \cos 165^{\circ}=-\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}\right)
Illustration:5.यदि \tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3} हो,तो \tan 97 \frac{1}{2}^{\circ} का मान ज्ञात कीजिए:
Solution: \tan 97 \frac{1}{2}^{\circ}=\tan \left(90^{\circ}+7 \frac{1}{2}^{\circ}\right) \\ =-\cos 7 \frac{1}{2}^{\circ} \\ =-\frac{1}{\tan 7 \frac{1}{2}^{\circ}} \\ =-\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{1+\tan ^2 15^{\circ}}}{\tan 15^{\circ}}} \\ =-\frac{(2-\sqrt{3})}{-1+\sqrt{1+(2-\sqrt{3})^2}} \\=-\frac{(2-\sqrt{3})}{-1+\sqrt{1+4-4 \sqrt{3}+3}} \\ =-\frac{(2-\sqrt{3})}{-1+\sqrt{8-4 \sqrt{3}}} \\ =-\frac{(2-\sqrt{3})}{-1+\sqrt{2} \sqrt{4-2 \sqrt{3}}} \\ =-\frac{(2-\sqrt{3})}{-1+\sqrt{2} \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}} \\ =-\frac{(2-\sqrt{3})}{-1+\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} \\ =\frac{-(2-\sqrt{3})}{-1+\sqrt{6}-\sqrt{2}} \\ =\frac{-(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(-1+\sqrt{6}-\sqrt{2})(2+\sqrt{3})} \\ =\frac{-(4-3)}{-2+2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}-\sqrt{3}+3 \sqrt{2}-\sqrt{6}} \\ =\frac{-1}{-2+\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}} \\ =\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{[-\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)+\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)](\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\=-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})} \\=-\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(3-2)(2-1)} \\ \Rightarrow \tan 97 \frac{1}{2}^{\circ}=-(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)
Illustration:6.सिद्ध कीजिए:
Illustration:6(i). \cot 7 \frac{1}{2}^{\circ}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6}
Solution: 7 \frac{1}{2}^{\circ}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6} \\ \tan 97 \frac{1}{2}^{\circ}=-\cot 7 \frac{1}{2}^{\circ} \\ \Rightarrow-\cot 7 \frac{1}{2}^{\circ}=-(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1) \\ \Rightarrow \cot 7 \frac{1}{2}^{\circ}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1) \\ \Rightarrow \cot 7 \frac{1}{2}^{\circ} =\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6}
Illustration:6(ii). \tan 11 \frac{1}{4}^{\circ}=\sqrt{4+2 \sqrt{2}}-(\sqrt{2}+1)
Solution: \tan 11 \frac{1}{4}^{\circ}=\sqrt{4+2 \sqrt{2}}-(\sqrt{2}+1) \\ \tan 11 \frac{1}{4}^{\circ} =\sqrt{\frac{1-\cos 22 \frac{1}{2}^{\circ}}{1+\cos 22 \frac{1}{2}^{\circ}}}\left[ \because \tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}\right] \\ =\sqrt{\frac{1-\sqrt{\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}}}{1+\sqrt{\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}}}} \\ =\sqrt{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}}{\sqrt{2}+ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}}} \\ =\sqrt{\frac{\sqrt{2 \sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2 \sqrt{2}}+ \sqrt{\sqrt{2}+1}}} \\ =\sqrt{\frac{(\sqrt{2 \sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+1})(\sqrt{2 \sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+1})}{(\sqrt{2 \sqrt{2}}+\sqrt{\sqrt{2}+1})(\sqrt{2 \sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+1})}} \\ =\frac{\sqrt{2 \sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2 \sqrt{2}-\sqrt{2}-1}} \\ =\frac{(\sqrt{2 \sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+1})}{\sqrt{\sqrt{2}-1}} \times \frac{(\sqrt{\sqrt{2}+1})}{\sqrt{\sqrt{2}+1}} \\ =\sqrt{2 \sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}-(\sqrt{2}+1) \\ \Rightarrow \tan 11 \frac{1}{4}^{\circ}=\sqrt{4+2 \sqrt{2}}-(\sqrt{2}+1)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अपवर्त्य और अपवर्तक कोण (Multiple and Sub-Multiple Angle),कोण A के त्रिकोणमितीय अनुपातों को A/2 के पदों में ज्ञात करना (To Find Trigonometrical Ratios of Angle A in Terms of Angle A/2) को समझ सकते हैं।

Multiple and Sub-Multiple Angle

Also Read This Article:- Trigonometric Ratio of Multiple Angles

3.अपवर्त्य और अपवर्तक कोण (Frequently Asked Questions Related to Multiple and Sub-Multiple Angle),कोण A के त्रिकोणमितीय अनुपातों को A/2 के पदों में ज्ञात करना (To Find Trigonometrical Ratios of Angle A in Terms of Angle A/2) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अपवर्त्य और अपवर्तक कोण (Multiple and Sub-Multiple Angle) के इस आर्टिकल
में कोण A के द्वारा कोण A/2 के मान ज्ञात करने वाले त्रिकोणमितीय सवालों को हल करके
समझने का प्रयास करेंगे।