Skewness and Standard Deviation

Q: प्रश्न:1.सामूहिक समान्तर माध्य ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find the Combined Arithmetic Mean):

उत्तर:सामूहिक समान्तर माध्य \overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{\overline{X}_1 N_1+\overline{X}_2 N_2+\overline{X}_3 N_3}{N_1+N_2+N_3}

Q: प्रश्न:2.सामूहिक प्रमाप विचलन ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find the Combined Standard Deviation):

Solution:सामूहिक प्रमाप विचलन \sigma_{1 \cdot 2 \cdot 3}=\sqrt{\frac{N_1 \left( \sigma_1^2+D_1^2\right)+N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right)+N_3\left(\sigma_3^2+D_3^2\right)}{N_1+N_2+N_3}} जहाँ D_1=\overline{X}_1-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}, D_2=\overline{X}_2-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}, D_3={\overline{X}_3-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}}

Q: प्रश्न:3.प्रमाप विचलन व विचरण गुणांक ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulae to Find Standard Deviation and Coefficient of Variation):

Solution:प्रमाप विचलन (\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \cdot N-(\Sigma f d x)^2} विचरण गुणांक C. of V.=\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 प्रसरण V=\sigma^2 \sigma=Standard Deviation उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विषमता और प्रमाप विचलन (Skewness and Standard Deviation),विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam January 26, 2026 Statistics No Comments

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1 1.विषमता और प्रमाप विचलन (Skewness and Standard Deviation),विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness):

1.1 2.विषमता और प्रमाप विचलन के साधित उदाहरण (Skewness and Standard Deviation Solved Examples):

1.1.1 3.विषमता और प्रमाप विचलन (Frequently Asked Questions Related to Skewness and Standard Deviation),विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.1.2 प्रश्न:1.सामूहिक समान्तर माध्य ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find the Combined Arithmetic Mean):

1.1.3 प्रश्न:2.सामूहिक प्रमाप विचलन ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find the Combined Standard Deviation):

1.1.4 प्रश्न:3.प्रमाप विचलन व विचरण गुणांक ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulae to Find Standard Deviation and Coefficient of Variation):

1.1.4.1 Skewness and Standard Deviation

2 विषमता और प्रमाप विचलन(Skewness and Standard Deviation)

2.1 Skewness and Standard Deviation

1.विषमता और प्रमाप विचलन (Skewness and Standard Deviation),विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness):

Skewness and Standard Deviation

विषमता और प्रमाप विचलन (Skewness and Standard Deviation) के इस आर्टिकल में विषमता गुणांक और प्रमाप विचलन ज्ञात करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विषमता और प्रमाप विचलन के साधित उदाहरण (Skewness and Standard Deviation Solved Examples):

Example:1.समान्तर माध्य,बहुलांक और प्रमाप विचलन निकालकर कार्ल पियर्सन के विषमता गुणांक को निकालिए:
(Find Karl Pearson’s Coefficient of skewness by calculating arithmetic mean,mode and standard deviation):
$\begin{array}{|cc|} \hline\text{Measurement} & \text{Frequency} \\ \hline 0-10 & 10 \\ 10-20 & 12 \\ 20-30 & 18 \\ 30-40 & 25 \\ 40-50 & 16 \\ 50-60 & 14 \\ 60-70 & 5 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness
$\begin{array}{|cccccc|} \hline\text{Measurement} & \text{Mid-} & \text{A=35} & & & \\ & \text{value} & dx & f & fx & fd^2x\\ \hline 0-10 & 5 & -30 & 10 & -300 & 9000 \\ 10-20 & 15 & -20 & 12 & -240 & 4800 \\ 20-30 & 25 & -10 & 18 & -180 & 1800 \\ 30-40 & 35 & 0 & 25 & 0 & 0 \\ 40-50 & 45 & 10 & 16 & 160 & 1600 \\ 50-60 & 55 & 20 & 14 & 280 & 5600 \\ 60-70 & 65 & 30 & 5 & 150 & 4500 \\ \hline \text { Total } & & 0 & 100 & -130 & 27300 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य
$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =35+\frac{(-130)}{100} \\ =35-1.3 \\ \Rightarrow \overline{X}=33.7$
बहुलक वर्ग 30-40 है क्योंकि सबसे अधिक बारम्बारता इसी वर्ग की है।
$f_{0}=18, f_{1}=25 ,f_{2}=16,l=30,i=40-30=10$
बहुलक (Z)= $l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times i \\ =30+\left(\frac{25-18}{2 \times 25-18-16}\right) \times 10 \\ =30+\frac{7}{50-34} \times 10 \\ =30+\frac{70}{16}=30+\frac{35}{8} \\ \approx 30+4.375 \\ \Rightarrow Z=34.375$
प्रमाप विचलन $\sigma=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma fd^2 x \cdot N-(\Sigma fdx)^2} \\ =\frac{1}{100} \sqrt{27300 \times 100-(-130)^2} \\ =\frac{1}{100} \sqrt{2730000-16900} \\ =\frac{1}{100} \sqrt{2713100} \\ \approx \frac{1}{100} \times 1647.149 \\ \Rightarrow \sigma \approx 16.47$
विषमता गुणांक
$J=\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{33.7-34.375}{16.47} \\ =-\frac{0.675}{16.47} \\ \Rightarrow J \approx-0.0409$
Example:2.निम्न समंकों से कार्ल पियर्सन का विषमता-गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following figures,find Karl Pearson’s coefficiemt of skewness):
$\begin{array}{|cc|} \hline\text{Measurement} & \text{Frequency} \\ \hline 0-10 & 30 \\ 10-20 & 40 \\ 20-30 & 50 \\ 30-40 & 48 \\ 40-50 & 24 \\ 50-60 & 162 \\ 60-70 & 132 \\ 70-80 & 14 \\ \hline \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness
$\begin{array}{|cccccc|} \hline\text{Measurement} & \text{Frequency} & \text{Mid-} & \text{A=35} & & \\ & f & \text{value(x)} & dx & fx & fd^2x\\ \hline 0-10 & 30 & 5 & -30 & -900 & 27000 \\ 10-20 & 40 & 15 & -20 & -800 & 16000 \\ 20-30 & 50 & 25 & -10 & -500 & 5000 \\ 30-40 & 48 & 35 & 0 & 0 & 0 \\ 40-50 & 24 & 45 & 10 & 240 & 2400 \\ 50-60 & 162 & 55 & 20 & 3240 & 64800 \\ 60-70 & 132 & 65 & 30 & 3960 &118800 \\ 70-80 & 14 & 75 & 40 & 560 & 22400 \\ \hline \text { Total } & 500 & & 40 & 5800 & 256400 \\ \hline\end{array}$
समान्तर माध्य
$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma fd x}{N} \\ =35+\frac{5800}{500} \\ =35+11.6 \\ \Rightarrow \overline{X}=46.6$
सबसे अधिक बारम्बारता 162 वर्ग 50-60 की है अतः बहुलक वर्ग 50-60 है।
$l=50,i=60-50=10 ,f_0=24, f_1=162 ,f_2=132$
बहुलक $Z =l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times i \\ =50+\frac{162-24}{2 \times 162-24-132} \times 10 \\ =50+\frac{1380}{324-156} \\ =50+\frac{1380}{168} \\ \Rightarrow Z \approx 50+8.214 \approx 58.214$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma fd^2 x \cdot N+\left(\Sigma fd x\right)^2} \\ =\frac{1}{500} \sqrt{256400 \times 500-(5800)^2} \\ =\frac{1}{500} \sqrt{128200000-33640000} \\ =\frac{1}{500} \sqrt{94560000} \\ \approx \frac{1}{500} \times 9724.1967 \\ \Rightarrow \sigma \approx 19.448$
विषमता गुणांक (J)= $\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\=\frac{46.6-58.214}{19.448} \\ =-\frac{11.614}{19.448} \\ \Rightarrow J \approx-0.597$

Skewness and Standard Deviation

Example:3.निम्नलिखित आँकड़ों से कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data calculate the Karl Pearson’s coefficient skewness):
$\begin{array}{|cc|} \hline\text{Wages} & \text{No. of} \\ \text{more than} & \text{Worker} \\ \hline 5 & 15 \\ 15 & 105 \\ 25 & 96 \\ 35 & 85 \\ 45 & 72\\ 55 & 58 \\ 65 & 32 \\ 75 & 12 \\ 85 & 0 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Karl Pearson’s Coefficient of Skewness
$\begin{array}{|cccccc|} \hline\text{Wages} & \text{Frequency} & \text{Mid-} & \text{A=50} & & \\ & f & \text{value(x)} & dx & fx & fd^2x\\ \hline 5-15 & 15 & 10 & -40 & -600 & 24000 \\ 15-25 & 9 & 20 & -30 & -270 & 8100 \\ 25-35 & 11 & 30 & -20 & -220 & 4400 \\ 35-45 & 13 & 40 & -10 & -130 & 1300 \\ 45-55 & 14 & 50 & 0 & 0 & 0 \\ 55-65 & 26 & 60 & 10 & 260 & 2600 \\ 65-75 & 20 & 70 & 20 & 400 & 8000 \\ 75-85 & 12 & 80 & 30 & 360 & 10800 \\ 85-95 & 0 & 90 & 40 & 0 & 0 \\ \hline \text { Total } & 120 & & &-200 & 59200 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य
$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =50+\frac{(-200)}{120} \\ \approx 50-1.667 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 48.333$
सबसे अधिक बारम्बारता 26 है अतः बहुलक वर्ग 55-65 है।
$l=55,i=65-55=10, f_0=14, f_1=26, f_2=20$
बहुलक (Z)= $l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0+f_2} \times i\right) \\ =55+\left(\frac{26-14}{2 \times 26-14-20}\right) \times 10 \\ =55+\frac{12}{52-34} \times 10 \\ =55+\frac{120}{18} \\ \approx 55+6.667 \\ \Rightarrow Z \approx 61.667$
प्रमाप विचलन $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \cdot N-(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{120} \sqrt{59200 \times 120-(-200)^2} \\ =\frac{1}{120} \sqrt{7104000-40000} \\ =\frac{1}{120} \sqrt{7064000} \\ \approx \frac{2657.818}{120} \\ \Rightarrow \sigma \approx 22.148$
विषमता गुणांक (J)= $\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{48.333-61.667}{22.148} \\ =\frac{-13.334}{22.148} \\ \Rightarrow J \approx -0.602$
Example:4.काॅलेज परीक्षा और प्रतियोगितात्मक परीक्षा में परीक्षार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों की निम्नांकित श्रेणियों से यह बताइए कि बुद्धिमत्ता में कौन-सा समूह अधिक सजातीय है और कौन-सा असममित है:
(From the following series of marks obtained by candidates in a college examination and a competitive examination,state which group is more homogenous and which is more skew in intelligence.)
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\text{College Examination}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Competitive Examination}} \\ \hline \text{Marks} & \text{No. of students} & \text{Marks} & \text{No. of students} \\ \hline 100-150 & 20 & 1200-1250 & 50 \\ \hline 150-200 & 45 & 1250-1300 & 85 \\ \hline 200-250 & 50 & 1300-1350 & 72 \\ \hline 250-300 & 25 & 1350-1400 & 60 \\ \hline 300-350 & 19 & 1400-1450 & 16 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Coefficient of Variation and Skewness
$\begin{array}{|cccccc|} \hline \multicolumn{6}{|c|}{\text{College Examination}} \\ \hline \text{Marks} & \text{No. of } & \text{Mid-} & \text{A=225} & & \\ & \text{students}(f) & \text{value(x)} & dx & fx & fd^2x \\ \hline 100-150 & 20 & 125 & -100 & -2000 & 200000 \\ 150-200 & 45 & 175 & -50 & -2250 & 112500 \\ 200-250 & 50 & 225 & 0 & 0 & 0 \\ 250-300 & 25 & 275 & 50 & 1250 & 62500 \\ 300-350 & 19 & 325 & 100 & 1900 & 190000 \\ \hline \text { Total } & 159 & & & -1100 & 565000 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य
$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =225+\frac{(-1100)}{159} \\ \approx 225-6.518 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 218.082$
सबसे अधिक बारम्बारता 50 है अतः बहुलक वर्ग 200-225 है।
$l=200,i=225-200=25 , f_0=45, f_1=50, f_2=25$
बहुलक
(Z)= $l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times i \\ =200+\left(\frac{50-45}{2 \times 50-45-25}\right) \times 25 \\ =200+\frac{5}{100-70} \times 25 \\ =200+\frac{125}{30} \\ \approx 200+4.167 \\ \Rightarrow Z \approx 204.167$
प्रमाप विचलन
$(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \times N-(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{159} \sqrt{565000 \times 159-(-1100)^2} \\ =\frac{1}{159} \sqrt{89835000-1210000} \\ =\frac{1}{159} \sqrt{88625000} \\ \approx \frac{9414.085}{159} \\ \Rightarrow \sigma \approx 59.208$
C.V. of College Exam = $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{59.208}{218.082} \times 100 \\ =\frac{5920.8}{218.082} \approx 27.15 \%$
विषमता गुणांक (J)= $\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{218.082-204.167}{59.208} \\ \Rightarrow J=\frac{13.915}{59.208} \approx 0.235$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{6}{|c|}{\text{College Examination}} \\ \hline \text{Marks} & \text{No. of } & \text{Mid-} & \text{A=1325} & & \\ & \text{students}(f) & \text{value(x)} & dx & fx & fd^2x \\ \hline 1200-1250 & 50 & 1225 & -100 & -5000 & 500000 \\ \hline 1250-1300 & 85 & 1275 & -50 & -4250 & 212500 \\ \hline 1300-1350 & 72 & 1325 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1350-1400 & 60 & 1375 & 50 & 3000 & 150,000 \\ \hline 1400-1450 & 16 & 1425 & 100 & 1600 & 160000 \\ \hline \text { Total } & 283 & & & -4650 & 1022500 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य
$(\overline{X})=A+\frac{\Sigma f d x}{N} \\ =1325+\frac{(-4650)}{283} \\ \approx 1325-16.431 \\ \Rightarrow \overline{X} \approx 1308.569$
सबसे अधिक बारम्बारता 85 है अतः बहुलक वर्ग 1250-1300 है।
$l=1250,i=1300-1250=50 ,f_0=50, f_1=85 ,f_2=72$
बहुलक (Z)= $l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times i \\ =1300+\left(\frac{85-50}{2 \times 85-50-72}\right) \times 50 \\ =1300+\left(\frac{35}{170-122}\right) \times 50 \\ =1300+\frac{35 \times 50}{48} \\ =1300+\frac{1750}{48} \approx 1300+36.458 \\ \Rightarrow Z \approx 1336.458$
प्रमाप विचलन
$(\sigma)=\frac{1}{N^2} \sqrt{\Sigma fd^2 x \times N-(\Sigma f d x)^2} \\ =\frac{1}{283} \sqrt{1022500 \times 283-(-4650)^2}\\ =\frac{1}{283} \sqrt{289367500-21622500} \\ =\frac{1}{283} \sqrt{267745000} \\ \approx \frac{1}{283} \times 16362.915$
C.V. of competitive Exam
= $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100 \\ =\frac{57.819}{1308.569} \times 100 \\ =\frac{5781.9}{1308.569} \\ \approx 4.42 \%$
विषमता गुणांक
(J)= $\frac{\overline{X}-Z}{\sigma} \\ =\frac{1308.569-1336.458}{57.819} \\ =-\frac{27.889}{57.819} \\ \Rightarrow J \approx-0.482$
प्रतियोगिता परीक्षा अधिक सजातीय और विषम है।
Example:5.निम्न आँकड़ों से सम्पूर्ण समूह का समूहित समान्तर माध्य और समूहित प्रमाप विचलन ज्ञात कीजिए:
$\begin{array}{|cccc|} \hline \text{Sub-} & \text{No. of} & \text{Average} & \text{Standard} \\ \text{group} & \text{persons} & \text{Wages(Rs.)} & \text{deviation(Rs.)} \\ \hline A & 50 & 61.0 & 8.0 \\ B & 100 & 70.0 & 9.0 \\ C & 120 & 80.5 & 10.0 \\ D & 30 & 83.0 & 11.0 \\ \hline \end{array}$
(From the following data,find the combined arithmetic mean and combined standard deviation of the whole group):
Solution:

$\overline{X}_1=61, N_1=50, \overline{X}_2=70, N_2=110\\ \overline{X}_3=805, N_3=120, \overline{X}_4=83, N_4=30 \\ \overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\frac{\overline{X}_1 N_1+ \overline{X}_2 N_2+\overline{X}_3 N_3+\overline{X}_4 N_4}{N_1+N_2+N_3+N_4} \\ =\frac{61 \times 50+70 \times 100+80.5 \times 120 +83 \times 30}{50+100+120+30} \\ =\frac{3050+7000+9660+2490}{300} \\ =\frac{22200}{300}=74 \\ \Rightarrow \overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} =74 \\ D_1= \overline{X}_1-\overline{X}=61-74=-13, D_2=\overline{X}_2-\overline{X} =70-74=-4, \\ D_3=\overline{X}_3 -\overline{X}=80.5-74 =6.5, D_4=\overline{X}_4-\overline{X}=83-74=9 \\ \sigma_1=8, \sigma_2=9, \sigma_3=10, \sigma_4=11 \\ \sigma_{1.2 .3 .4}=\sqrt{\frac{\begin{array}{l} N_1\left(\sigma_1^2+D_1^2 \right) +N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right) \\ +N_3 \left(\sigma_3^2+ D_3^2\right)+ N_4 \left(\sigma_4^2 +D_4^2\right) \end{array}}{N_1+N_2+N_3+N_4}} \\ =\sqrt{\frac{50\left(8^2+(-13)^2\right)+100\left(9^2+\left(-4\right)^2\right)+120\left(10^2+(6.5)^2\right) +30\left(11^2+9^2 \right)}{50+100+120+30}} \\ =\sqrt{\frac{50(64+169)+100(81+16)+120(100+42.25)+30(121+81)}{300}} \\ =\sqrt{ \frac{50 \times 228+100 \times 97+120 \times 142.25+30 \times 202}{300}} \\ =\sqrt{\frac{11400 +9700+17070+6060}{300}} \\ =\sqrt{\frac{44230}{300}} \\ =\sqrt{147.433} \\ \sigma_{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \approx 12.14 \\ \overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{\overline{X}_1 N_1+\overline{X}_2 N_2+\overline{X}_3 N_3}{N_1+N_2+N_3} \\ =\frac{61 \times 50+70 \times 100+80.5 \times 120}{50+100+120} \\ =\frac{3050+7000+9660}{270}=\frac{19970}{270}=73 \\ \overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=73 \\ D_1=\overline{X}_1-\overline{X}=61-73=-12, D_2=\overline{X}_2-\overline{X} =70-73=-3, \\ D_3=\overline{X}_3-\overline{X}=80.5-73 =7.5 \\ \sigma_{1 \cdot 2 \cdot 3}=\sqrt{\frac{N_1 \left(\sigma_1^2 +D_1^2\right)+N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right)+N_3\left(\sigma_3^2+D_3^2\right)}{N_1+N_2+N_3}} \\ =\sqrt{\frac{50\left(8^2+(-12)^2\right)+100\left(9^2+(-3)^2\right)+120\left(10^2+(7.5)^2\right)}{50+100+120}} \\ =\sqrt{\frac{50(64+144)+100(81+9)+20(100+56.25)}{270}} \\ =\sqrt{\frac{50 \times 208+100 \times 90+120 \times 156.25}{270}} \\ =\sqrt{\frac{10400+9000+18750}{270}} \\ \sqrt{\frac{38,150}{270}}=11.729 \\ \Rightarrow \sigma_{1 \cdot 2 \cdot 3} \approx 11.73$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विषमता और प्रमाप विचलन (Skewness and Standard Deviation),विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness) को समझ सकते हैं।

Skewness and Standard Deviation

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3.विषमता और प्रमाप विचलन (Frequently Asked Questions Related to Skewness and Standard Deviation),विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सामूहिक समान्तर माध्य ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find the Combined Arithmetic Mean):

उत्तर:सामूहिक समान्तर माध्य $\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{\overline{X}_1 N_1+\overline{X}_2 N_2+\overline{X}_3 N_3}{N_1+N_2+N_3}$

प्रश्न:2.सामूहिक प्रमाप विचलन ज्ञात करने का सूत्र लिखो। (Write the Formula to Find the Combined Standard Deviation):

Solution:सामूहिक प्रमाप विचलन $\sigma_{1 \cdot 2 \cdot 3}=\sqrt{\frac{N_1 \left( \sigma_1^2+D_1^2\right)+N_2\left(\sigma_2^2+D_2^2\right)+N_3\left(\sigma_3^2+D_3^2\right)}{N_1+N_2+N_3}}$
जहाँ $D_1=\overline{X}_1-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}, D_2=\overline{X}_2-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}, D_3={\overline{X}_3-\overline{X}_{1 \cdot 2 \cdot 3}}$

प्रश्न:3.प्रमाप विचलन व विचरण गुणांक ज्ञात करने के सूत्र लिखो। (Write the Formulae to Find Standard Deviation and Coefficient of Variation):

Solution:प्रमाप विचलन $(\sigma)=\frac{1}{N} \sqrt{\Sigma f d^2 x \cdot N-(\Sigma f d x)^2}$
विचरण गुणांक C. of V.= $\frac{\sigma}{\overline{X}} \times 100$
प्रसरण V= $\sigma^2$
$\sigma$ =Standard Deviation
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा विषमता और प्रमाप विचलन (Skewness and Standard Deviation),विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Skewness and Standard Deviation

विषमता और प्रमाप विचलन
(Skewness and Standard Deviation)