1.त्वरण के अधीन सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion With Acceleration),सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion):

Rectilinear Motion With Acceleration

त्वरण के अधीन सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion With Acceleration) के इस आर्टिकल में सरल रेखा में मूलबिन्दु की ओर तथा उसके विपरीत ओर गति करने वाले कण पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Motion Under Repulsion Varying

2.त्वरण के अधीन सरल रेखीय गति के साधित उदाहरण (Rectilinear Motion With Acceleration Solved Illustrations):

Illustration:1.एक बल के तहत एक कण विरामावस्था से एक सीधी रेखा में गतिमान है।बल रेखा में स्थित एक स्थिर बिन्दु से कण की दूरी के अनुपाती है,सदैव एक स्थिर बिन्दु की ओर दिष्ट है।गति की व्याख्या कीजिए।
(A particle moves in a straight line starting from rest under the action of a force which varies as the distance of the particle from a fixed point at that line and is always directed towards that point.Determine the motion.)
Solution:गति का समीकरण
\frac{d^2 x}{d t^2}=-\mu x \Rightarrow D^2 x+\mu x=0 \\ \Rightarrow\left(D^2+\mu\right) x=0
जो कि अवकल समीकरण है जिसका हल है:
x=A \cosh \sqrt{\mu}+B \sinh \sqrt{\mu} t
प्रारम्भ में t=0 तो x=a
\Rightarrow a=A \cosh 0+B \sinh 0 \\ \Rightarrow A=a \\ \Rightarrow x=a \cosh \sqrt{\mu} t+B \sinh \sqrt{\mu} t
पुनः अवकलन करने परः
\frac{d x}{d t}=A \sqrt{\mu} \sinh \sqrt{\mu} t+B \sqrt{\mu} \cos h \sqrt{\mu} t \cdots(2) \\ \frac{d x}{d t}=0, t=0 रखने परः
0=A \sqrt{\mu} \sinh 0+ B \sqrt{\mu} \cosh 0 \\ B=0 \\ \frac{d x}{d t}=A \sqrt{\mu} \sinh \sqrt{\mu} t \\ \frac{d x}{d t}=a \sqrt{\mu} \sinh \sqrt{\mu} t
अत : x=a \cosh \sqrt{\mu} t
Illustration:2.एक कण किसी सरल रेखा पर नियत बिन्दु O से V वेग से एक बल के अधीन जो कि त्वरण \mu x जनित करता है जहाँ x,कण की O से दूरी है,गतिमान है।x दूरी चलने में समय तथा t समय में चली दूरी ज्ञात कीजिए।साथ ही कण के वेग को 2V तक बढ़ने के लिए समय भी ज्ञात कीजिए।
(A particle moves in a straight line from a fixed point O with velocity V under a force which produces an acceleration \mu x  where x is distance of the particle from O.Find the time taken in moving distance x and the distance in time t.Find also time taken for the velocity to be increased to 2V.)
Solution:गति का समीकरण:
\frac{d^2 x}{d t^2}=\mu x \\ \Rightarrow v \frac{d v}{d x}=\mu x \\ \Rightarrow \int v d v=\int \mu x d x \\ \frac{1}{2} v^2 =\frac{1}{2} \mu x^2+C_1
x=0 तब v=V
C_1=\frac{1}{2} V_1^2 \\ v^2=\mu x^2+V^2 \\ v=\frac{d x}{d t}=\sqrt{\mu x^2+V^2} \\ \Rightarrow d t=\frac{d x}{\sqrt{\mu x^2+V^2}}
समय 0 से t तथा दूरी x=0 से x तक
\int_0^t d t=\int_0^x \frac{d x}{\sqrt{\mu x^2+V^2}} \\ [t]_0^t=\frac{1}{\sqrt{\mu}} \log \left[ \sqrt{\mu} x+\sqrt{\mu x^2+V^2}\right]_0^x \\ \Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt{\mu}} \log \left[ \frac{\sqrt{\mu} x+\sqrt{\mu x^2+V^2}}{V}\right] \\ x(t)=\frac{V}{\sqrt{\mu}} \sinh (\sqrt{\mu} t)
समय t=1 पर x(1)=\frac{V}{\sqrt{\mu}} \sinh \sqrt{\mu} \\ v(t)=V \cosh (\sqrt{\mu} t) \\ v_{t_f}=2 V \\ 2 V=V \cosh \left(\sqrt{\mu} t_f\right) \\ \Rightarrow 2=\cosh \left(\sqrt{\mu} t_f\right) \\ t_f=\frac{1}{\sqrt{\mu}} \log (2+\sqrt{3})
Illustration:3.यदि किसी सरल रेखा में गतिमान किसी कण का t समय पर विस्थापन x=a \cos nt +b \sin nt से व्यक्त किया जाए तो सिद्ध कीजिए कि कण की गति सरल आवर्त गति है जिसका आयाम \sqrt{a^2+b^2} तथा आवर्तकाल \frac{2 \pi}{n} है।
(Prove that if the displacement of a particle in a straight line is expressed by the equation x=a \cos nt +b \sin nt ,it describes a S.H.M. whose amplitude is \sqrt{a^2+b^2} and period \frac{2 \pi}{n}.)
Solution:दिए गए विस्थापन के समीकरण x=a \cos nt +b \sin nt से कण की गति सरल आवर्त गति सिद्ध होती है क्योंकि यह A \cos (\omega t+\theta) के रूप में है।जहाँ आयाम A=\sqrt{a^2+b^2} है और कोणीय आवृत्ति \omega=n है जिससे आवर्तकाल T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{n} होता है,जो दर्शाता है कि यह सरल आवर्त गति है जिसमें आयाम \sqrt{a^2+b^2} और आवर्तकाल \frac{2 \pi}{n} है।
सरल रेखीय गति सिद्ध करने के लिए दिए गए समीकरण को सरल आवर्त गति के मानक रूप में बदलना होगा:
x=a \cos nt +b \sin nt
दोनों तरफ \sqrt{a^2+b^2} से भाग देने परः
\frac{x}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos (n t)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin (n t)
मान लीजिए \cos \theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} और \sin \theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} (यह सम्भव है क्योंकि \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1 )
\frac{x}{\sqrt{a^2+b^2}}= \cos \theta \cos (x t)+\sin \theta \sin (n t)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \cos (x-y) =\cos x \cos y+\sin x \sin y का प्रयोग करने परः
\frac{x}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos (nt-\theta) \\ \Rightarrow x=\sqrt{a^2+b^2} \cos (n t-\theta)
यह समीकरण x=A \cos (\omega t-\theta) के रूप में है जो सरल आवर्त गति का मानक रूप है,जहाँ
A=\sqrt{a^2+b^2} (आयाम) और \omega=n (कोणीय आवृत्ति) है।
आयाम (A) उपर्युक्त समीकरण से:
आयाम A=\sqrt{a^2+b^2}
आवर्तकाल (T):कोणीय आवृत्ति \omega=n
आवर्तकाल T=\frac{2 T}{w} \\ \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{n}
निष्कर्ष:चूँकि विस्थापन समीकरण को एक साइन या कोसाइन फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जिसमें समय के साथ आयाम और आवर्तकाल को निश्चित करते हैं,कण सरल आवर्त गति कर रहा है,जिसका आयाम \sqrt{a^2+b^2} और आवर्तकाल \frac{2 \pi}{n} है।

Rectilinear Motion With Acceleration

Illustration:4.यदि किसी सरल रेखा में गतिमान एक कण का वेग v, v^2=a-b x^2 सम्बन्ध से दिया हुआ है जहाँ x,बिन्दु P की सरल रेखा पर एक स्थिर बिन्दु से दूरी है तथा a,b धनात्मक अचरांक है।सिद्ध कीजिए कि P की गति सरल आवर्त गति है।इसका आयाम तथा आवर्तकाल भी ज्ञात कीजिए।
(The speed v of a point P which moves in a straight line is given by the relation v^2=a-b x^2 where x is the distance of the point P from a fixed point on the path,a and b being positive constants.Show that the motion of P is S.H.M. and determine its amplitude and period.)
Solution:सरल आवर्त गति सिद्ध करने के लिए हमें त्वरण \frac{d^2 x}{d t^2} ज्ञात करना है और ऋणात्मक x के समानुपाती सिद्ध करना है:
v^2=a-b x^2
t के सापेक्ष अवकलन करने परः
2 v \frac{d v}{d t}=0-2 b x \frac{d x}{d t} \\ \frac{d v}{d t}=\frac{d^2 x}{d t^2} रखने परः
2 v \frac{d^2 x}{d t^2}=-2 b x v\left[\frac{d x}{d t}=v\right]
दोनों पक्षों में 2v ( v \neq 0 माना) से भाग देने पर हम प्राप्त करते हैं:
\frac{d^2 x}{d t^2}=-b x
[यह समीकरण S.H.M. से मेल खाती है \frac{d^2 x}{d t^2}=-\omega^2 x ]
जहाँ \omega कोणीय आवृत्ति जो \sqrt{b} के बराबर है जहाँ b धनात्मक अचर है।अतः यह S.H.M. गति है।
T=\frac{2 \pi}{\omega} \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{\sqrt{b}}
आयाम A,x का अधिकतम विस्थापन है,सन्तुलन की अवस्था (जो x=0,जहाँ \frac{d^2 x}{d t^2}=0 ) में अधिकतम विस्थापन पर v=0
v^2=a-b x^2 से
0=a-b A^2 \\ \Rightarrow A^2=\frac{a}{b} \\ \Rightarrow A=\sqrt{\frac{a}{b}}
Illustration:5.यदि एक कण सरल आवर्त गति से चलता है जिसका आयाम a और आवर्तकाल T है।वेग v का मान निम्न पदों में ज्ञात कीजिए:
(i)a,T तथा t (ii)a,T तथा x
साथ ही यह भी सिद्ध कीजिए कि
\int_0^T v^2 d t=\frac{2 \pi^2 a^2}{T}
(A particle is in S.H.M. with amplitude a and period T.Find the expression of the velocity v in term of
(a)a,T and t (b)a,T and x
Also prove that \int_0^T v^2 d t=\frac{2 \pi^2 a^2}{T} )
Solution:भाग I.a,T और t के पदों में व्यक्त करनाः
हम मानते हैं कि कण की स्थिति को मानक सरल आवर्त गति समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है जैसे कि x(t)=a \cos (\omega t), ,जहाँ a आयाम और \omega कोणीय आवृत्ति है।वेग v(t) कण की किसी समय t के सापेक्ष अवकलन हैः
v(t)=\frac{d v}{d t} (कोणीय आवृत्ति w आवर्तकाल से सम्बन्धित है)
\omega=\frac{2 \pi}{T}
स्टेप:1.समीकरण x(t)=a \cos (\omega t) का t के सापेक्ष अवकलन करने परः
\frac{d x}{d t}=-a \omega \sin (\omega t) \\ \Rightarrow v(t)=-a \omega \sin (\omega t)
स्टेप:2.कोणीय आवृत्ति का मान उपर्युक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर वेग v के लिए समीकरण प्राप्त होता हैः
v(t)=-\frac{2 \pi a}{T} \sin \left(\frac{2 \pi t}{T} \right)
वेग का परिमाण अक्सर निम्न रूप में दिया जाता है:
v=\frac{2 \pi a}{T} \sin \left(\frac{2 \pi t}{T} \right)
भाग:II.वेग को a,T और x के पदों में व्यक्त करनाः
स्टेप:1. x=a \cos (\omega t)\\ \Rightarrow \cos \omega t=\frac{x}{a}
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने परः
\pm \sqrt{1-\cos ^2 \omega t}= \pm \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}
स्टेप:2.इसको में प्रतिस्थापित करने परः
v=-a w\left( \pm \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\right)=\mp w \sqrt{a^2-x^2} है।
स्टेप:3.कोणीय आवृत्ति के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर \omega=\frac{2 \pi}{T}, a और T के पदों में वेग का मान प्राप्त होता हैः
v=\mp \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2-x^2}
वेग का परिमाण हैः v=\frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2-x^2}
यह व्यंजक यह भी दर्शाता है कि भागःII. के लिए उपयोग करने वाले का सम्भवतः किसी और चीज के लिए संदर्भित कर रहा था।
प्रमाण:स्टेप:1. v^2(t)=\left[-\frac{2 \pi a}{T} \sin \left(\frac{2 \pi t}{T} \right)\right]^2 \\ =\frac{4 \pi^2 a^2}{T^2} \sin \left(\frac{2 \pi t}{T}\right)
स्टेप:2. I=\int_0^T \frac{4 \pi^2 a^2}{T^2} \sin ^2\left(\frac{2 \pi t}{T} \right) d t
स्टेप:3.सर्वसमिका \sin ^2 \theta=\frac{1-\cos 2 \theta}{2} से
I=\frac{4 \pi a^2}{T^2} \int_0^\pi \frac{1-\cos \left(\frac{4 \pi}{T} t\right)}{2} d t
स्टेप:4.समाकलन का मान ज्ञात करने परः
I=\frac{4 \pi a^2}{T^2}\left[t-\frac{T}{4 \pi} \sin \left(\frac{4 \pi}{T} t\right)\right]_0^T
\sin 4 \pi और \sin 0 दोनों का मान शून्य है
I=\frac{4 \pi a^2}{T^2}(T-0) \\ =\frac{2 \pi^2 a^2}{T}
Illustration:6.एक प्रत्यास्थ डोरी जिसकी स्वाभाविक लम्बाई l है, \frac{3l}{2} तक खींचे जाने पर किसी निश्चित भार को साध सकती है।इसका एक सिरा एक चिकनी क्षैतिज मेज पर स्थित किसी स्थिर बिन्दु पर बांध दिया जाता है और उसके दूसरे सिरे पर वही भार लगा दिया जाता है।सिद्ध कीजिए कि यदि भार को किसी दूरी पर खींचकर छोड़ा जाए तो डोरी \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{l}{2 g}} समय के पश्चात ढीली हो जाएगी।
(An elastic string of natural length l will be stretched upto a length \frac{3l}{2} while a given weight is attached to its end. Its one end is fixed at a point on a horizontal smooth table and the other end is attached with that weight. If the weight is pulled upto a distance and then released,prove that the string will become slack after a time \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{l}{2 g}} .)
Solution:स्टेप:1.सन्तुलन की स्थिति में \Delta l=\frac{3 l}{2}-l=\frac{l}{2} गुरुत्वाकर्षण बल mg,डोरी के बल k \delta l को सन्तुलित करता है
m g=k \frac{l}{2} \\ \Rightarrow k=\frac{2 m g}{l}
स्टेप:2.क्षैतिज चिकनी टेबिल पर,गुरुत्वाकर्षण सामान्य बल को सन्तुलित करता है।जब डोरी को खींचा जाता है तो केवल क्षैतिज बल तनाव है (बल F=-k(x-l) जब लम्बाई x>1 जहाँ x निश्चित अन्त से दूरी है) सन्तुलन की स्थिति में (बल=0) x=l पर
गति का समीकरण : m \frac{d^2 x}{d t^2}=-k(x-l), x>l
माना u=x-l विस्तार है।अतः समीकरण का रूप
m \frac{d^2 u}{d t^2}=-k x
यह सरल आवर्त गति है जिसका कोणीय वेग w हैः
\omega^2=\frac{k}{m}
k का मान रखने परः
\omega^2=\frac{\frac{2 m g}{l}}{m}=\frac{2 g}{l} \\ \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{2 g}{l}}
स्टेप:3.डोरी में सरल आवर्त गति है भार प्रारम्भिक विस्तार से छोड़ा जाता है (आयाम A) कण द्वारा सरल आवर्त में लिया गया समय जब यह अधिकतम मूव (move) करती है (u=A) सन्तुलन की स्थिति में तथा (u=0 जहाँ डोरी ढीली पड़ जाती है) जो समय \frac{T}{4} है:
T=\frac{2 \pi}{\omega}
ढीली पड़ने पर समय t=\frac{T}{4}=\frac{2 \pi}{4 \omega}=\frac{\pi}{2 \omega } \\ t=\frac{\pi}{2 \sqrt{\frac{2 g}{l}}}=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{l}{2 g}}
Illustration:7.m संहति का एक कण भारहीन प्रत्यास्थ डोरी AB के सिरे B पर बांध दिया जाता है और डोरी का दूसरा सिरा A स्थिर रहता है।सन्तुलन की अवस्था में डोरी की लम्बाई स्वाभाविक लम्बाई से a अधिक हो जाती है।यदि कण सन्तुलन की स्थिति के सापेक्ष सरल आवर्त गति करे तो सिद्ध कीजिए कि आवर्तकाल 2 \pi \sqrt{\frac{a}{g}} होगा।
(One end A of a light elastic string is fixed and a mass m is attached to its other end B.In statical equilibrium position,the length of the string is increased by a beyond its natural length. If the mass is in S.H.M. about its statical equilibrium position,prove that its period is 2 \pi \sqrt{\frac{a}{g}} )
Solution:डोरी में सन्तुलन की स्थिति में ऊपर की ओर गुरुत्वाकर्षण बल (mg) तथा नीचे की ओर तनाव (T_0) लगता है
हुक्स नियम के अनुसार तनाव विस्तार a के समानुपाती है स्वाभाविक लम्बाई के ऊपर
T_0=k a
अतः डोरी के नियतांक k,द्रव्यमान m और गुरुत्वीय त्वरण में सम्बन्ध
k a=m g \\ \Rightarrow \frac{m}{k}=\frac{a}{g} \cdots(1)
जब सन्तुलन से द्रव्यमान को y विस्थापन दिया जाता है (जो नीचे की ओर धनात्मक है) तो कुल विस्तार (a+y) कुल तनाव T (a+y) k हैः
F_{\text{net }}=m g-T=m g-k(a+y)
mg=kg सन्तुलन की अवस्था में रखने पर
F_{\text{net}}=k a-k(a+y)=k a-k a-k y=-k y
न्यूटन के द्वितीय नियम से (F_{\text{net}}=m \ddot{y})
m \ddot{y}=-k g
S.H.M. का मानक समीकरण
\ddot{y}=-\frac{k}{m} y
S.H.M. का मानक समीकरण \ddot{y}=-w_{avg}^2 y जहाँ कोणीय आवृत्ति है।व्युत्पन्न समीकरण से तुलना करने परः
w_{\text{avg}}^2=\frac{k}{m} \Rightarrow w_{\text{avg }}=\sqrt{\frac{k}{m}}
डोरी के ढीली होने पर दोलनकाल
T=\frac{2 \pi}{w_{\text{avg}}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
समीकरण (1) सेः
T=2 \pi \sqrt{\frac{a}{g}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा त्वरण के अधीन सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion With Acceleration),सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion) को समझ सकते हैं।

Rectilinear Motion With Acceleration

Also Read This Article:- Motion Under Inverse Square Law

3.त्वरण के अधीन सरल रेखीय गति (Frequently Asked Questions Related to Rectilinear Motion With Acceleration),सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

त्वरण के अधीन सरल रेखीय गति (Rectilinear Motion With Acceleration) के इस
आर्टिकल में सरल रेखा में मूलबिन्दु की ओर तथा उसके विपरीत ओर गति करने वाले कण
पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।