1.समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio),गणित में समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio in Mathematics):

Proportion and Ratio

समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio) पर आधारित विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे और अनुपात और समानुपात ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.समानुपात तथा अनुपात पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Proportion and Ratio):

Example:1.यदि p:q:r=1:2:4 हो,तो \sqrt{5 p^2+q^2+r^2} बराबर होगा:
(a) 5 (b) 2q (c) 5p (d) 4r
Solution:p:q:r=1:2:4
माना P=k, q=2 k, r=4 k \\ \sqrt{5 p^2+q^2+r^2}=\sqrt{5 k^2+(2 k)^2+(4 k)^2} \\ =\sqrt{5 k^2+4 k^2+16 k^2}=\sqrt{25 k^2}=5 k \\ =5 p
विकल्प (c) सही है।
Example:2.किसी घन की दो राशियों का अनुपात 8:9 है।यदि प्रथम राशि ₹ 20 है,तो दूसरी राशि है
(a) ₹ 22.50 (b) ₹ 18.50 (c) ₹ 17.50 (d) ₹ 25.50
Solution:दूसरी राशि=\frac{9}{8} \times 20
=22.50
विकल्प (a) सही है।
Example:3.यदि \frac{3 a+5 b}{3 a-5 b}=5 हो,तो a:b बराबर होगा:
(a) 2: 1 (b) 5: 3 (c) 3: 2 (d) 5: 2
Solution: \frac{3 a+5 b}{3 a-5 b}=5 \\ \Rightarrow 3 a+5 b=15 a-25 b \\ \Rightarrow 15 a-3 a=25 b+5 b \\ \Rightarrow 12 a=30 b \\ \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{30}{12} \Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{5}{2} \\ \Rightarrow a: b=5: 2
विकल्प (d) सही है।
Example:4.तीन संख्याओं का अनुपात 1:2:3 है।यदि इनके वर्गों का योग 126 है,तो संख्याएँ होंगी
(a) 2,4,3 (b) 1,2,3 (c) 3,6,9 (d) 4,8,12
Solution:माना संख्याएँ=x, 2 x, 3 x \\ (x)^2+(2 x)^2+(3 x)^2=126 \\ \Rightarrow x^2+4 x^2+9 x^2=126 \Rightarrow 14 x^2=126 \\ \Rightarrow x^2=\frac{126}{14}=9 \Rightarrow x=\sqrt{9} \Rightarrow x=3
संख्याएँ=x,2x,3x=3,2×3,3×3=3,6,9
विकल्प (c) सही है।
Example:5.यदि (B-A) का 30%=(B+A) का 18% हो,तो अनुपात A:B बराबर होगा
(a) 4: 1 (b) 1: 4 (c) 5: 4 (d) 5: 9
Solution:(B-A) का 30%=(B+A) का 18%
\Rightarrow (B-A) \times \frac{30}{100}=(B+A) \times \frac{18}{100} \\ \Rightarrow 30 B-30 A=18 B+18 A \\ \Rightarrow 30 A+18 A=30 B-18 B \\ \Rightarrow 48 A=12 B \\ \Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{12}{48}=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow A: B=1: 4
विकल्प (b) सही है।
Example:6.दो संख्याएँ 3:5 के अनुपात में हैं।यदि प्रत्येक में से 9 घटाया जाए,तो वे 12:23 के अनुपात में हो जाती हैं,तो पहली संख्या है
(a) 27 (b) 33 (c) 55 (d) 49
Solution:माना दो संख्याएँ=3x,5x
3 x-9: 5 x-9=12: 23 \\ \Rightarrow \frac{3 x-9}{5 x-9}=\frac{12}{23} \\ \Rightarrow 69 x-207=60 x-108 \\ \Rightarrow 69 x-60 x=207-108 \\ \Rightarrow 9 x=99 \\ \Rightarrow x=\frac{99}{9} \Rightarrow x=11
पहली संख्या=3x=3×11=33
विकल्प (b) सही है।
Example:7. (3+\sqrt{2}) तथा (12-\sqrt{32}) का मध्यानुपाती क्या होगा?
(a) \sqrt{7} (b) 2 \sqrt{7} (c) 6 (d) \frac{15-3 \sqrt{2}}{2}
Solution:माना मध्यानुपाती x है।
(3+\sqrt{2}): x ::x :(12-\sqrt{32}) \\ \Rightarrow x^2 =(3+\sqrt{2})(12-\sqrt{32}) \\ =(3+\sqrt{2})(12-4 \sqrt{2}) \\ =4(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) \\ =4(9-2) \\ \Rightarrow x^2 =28 \Rightarrow x=\sqrt{28}=2 \sqrt{7}
विकल्प (b) सही है।
Example:8.दो संख्याएँ,एक तीसरी संख्या से क्रमशः 20% और 50% अधिक है।इन दो संख्याओं में अनुपात होगा
(a) 2: 5 (b) 4: 5 (c) 6: 7 (d) 3: 5
Solution:माना तीसरी संख्या=x
पहली संख्या=\frac{x \times 120}{100}=\frac{6 x}{5}
दूसरी संख्या=\frac{x \times 150}{100}=\frac{3 x}{2} \\ \frac{6 x}{5}:\frac{3 x}{2}=4: 5
विकल्प (b) सही है।
Example:9.किसी त्रिभुज के कोण 3:4:5 के अनुपात में है।त्रिभुज के सबसे बड़े कोण की माप है:
(a) 60^{\circ} (b) 75^{\circ} (c) 120^{\circ} (d) 150^{\circ}
Solution:माना त्रिभुज के कोण=3x,4x,5x
3x+4x+5x=180 \Rightarrow 12 x=180^{\circ} \\ \Rightarrow x=\frac{180^{\circ}}{12}=15^{\circ}
सबसे बड़ा कोण=5x=5×15°=75°
विकल्प (b) सही है।
Example:10.तीन मित्र ₹ 624 को आपस में \frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \frac{1}{4} के अनुपात में बाँट लेते हैं।तीसरे मित्र का अंश है
(a)₹ 150 (b) ₹ 192 (c) ₹ 148 (d) ₹ 144
Solution: \frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \frac{1}{4}=\frac{1}{2} \times 12: \frac{1}{3} \times 12: \frac{1}{4} \times 12 \\ =6: 4: 3
तीसरे मित्र का अंश=\frac{\text{तीसरा अनुपात ×कुल धन}}{\text{अनुपातों का योग}} \\ =\frac{3}{13} \times 624=144
विकल्प (d) सही है।
Example:11.₹ 1,50 पैसे तथा 25 पैसे के सिक्कों के मूल्य का योग ₹ 210 है जो क्रमशः 5:6:8 के अनुपात में हैं,तो ₹ 1 के सिक्कों की संख्या क्या है?
(a) 168 (b) 105 (c) 100 (d) 63
Solution:माना 1 ₹,50 पैसे तथा 25 पैसे के सिक्कों की संख्या=5x,6x,8x
5 x \times 1+6 x \times \frac{50}{100}+8 x \times \frac{25}{100}=210 \\ \Rightarrow 5 x+3 x+2 x=210 \Rightarrow x=\frac{210}{10}=21
1 ₹ के सिक्कों की संख्या=5x=5×21=105
विकल्प (b) सही है।
Example:12.यदि a:b=2:3 और b:c=4:5 है,तो a^2: b^2: bc का मान है
(a) 4: 9: 45 (b) 16: 36: 45 (c) 16: 36: 20 (d) 4: 36: 20
Solution: a:b=2:3, b:c=4:5 \\ \Rightarrow a:b=8: 12, b: c=12: 15 \\ \Rightarrow a: b: c=8: 12: 15 \\ \Rightarrow a^2: b^2: bc=(8)^2:(12)^2: 12 \times 15 \\ =64: 144: 180 \Rightarrow 16: 36: 45
विकल्प (b) सही है।
Example:13.एक काॅलेज में लड़कें तथा लड़कियाँ 8:5 के अनुपात में है।यदि लड़कियों की संख्या 160 है,तो काॅलेज में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
(a) 356 (b) 416 (c) 260 (d) 250
Solution:काॅलेज में कुल विद्यार्थी=
=\frac{\text{अनुपातों का योग×लड़कियों की संख्या}}{\text{ लड़कियों का अनुपात}} \\ =\frac{8+5}{5} \times 160=416
विकल्प (b) सही है।
Example:14.यदि \frac{a}{b}=\frac{2}{3} और \frac{b}{c}=\frac{4}{5} तो, \frac{a+b}{b+c} किसके बराबर होगा?
(a) \frac{20}{27} (b) \frac{27}{20} (c) \frac{6}{8} (d) \frac{8}{6}
Solution: \frac{a}{b}+1=\frac{2}{3}+1 \Rightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{5}{3} \\ \frac{b}{c}+1=\frac{4}{5}+1 \Rightarrow \frac{b+c}{c}=\frac{9}{5} \\ \frac{b+c}{b}=\frac{9}{4} \Rightarrow \frac{b+c}{b}=\frac{9 \times 3}{4 \times 3} \Rightarrow \frac{b+c}{b}=\frac{27}{12} \\ \frac{a+b}{b}=\frac{5}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{20}{12} \\ \frac{a+b}{b+c}=\frac{\frac{20}{12}}{\frac{27}{12}}=\frac{20}{27}
विकल्प (a) सही है।
Example:15.14 सेमी लम्बे दण्ड को 3:4 में बाँटा गया,तो छोटा टुकड़ा होगा
(a) 3 सेमी (b) 6 सेमी (c) 5 सेमी (d) इनमें से कोई नहीं
Solution:छोटा टुकड़ा=\frac{3}{3+4} \times 14=6
विकल्प (b) सही है।

Proportion and Ratio

Example:16.A,B तथा C के मासिक वेतन का अनुपात 2:3:5 है।यदि C का मासिक वेतन A के मासिक वेतन से ₹ 1200 अधिक है,तो B का वार्षिक वेतन है
(a) ₹ 24000 (b) ₹ 14400 (c) ₹ 1200 (d) ₹ 2000
Solution:B का वार्षिक वेतन= \frac{\text{B का अनुपात×1200}}{\text{A व C के अनुपात का अन्तर}} \\=\frac{3}{5-2} \times 1200=\frac{3}{3} \times 1200 \\ =1200 \Rightarrow 1200 \times 12=14400
विकल्प (b) सही है।
Example:17.दो संख्याओं का अनुपात 5:9 है।प्रत्येक संख्या में 9 जोड़ देने पर उसका अनुपात 16:27 हो जाता है,तो इन संख्याओं में से एक संख्या होगी:
(a) 99 (b) 77 (c) 88 (d) 66
Solution:माना दो संख्याएँ=5x,9x
\frac{5 x+9}{9 x+9}=\frac{16}{27} \\ \Rightarrow 135 x+243=144 x+144 \\ \Rightarrow 144 x-135 x=243-144 \\ \Rightarrow 9 x=99 \\ \Rightarrow x=\frac{99}{9}=11
अतः संख्याएँ=5x,9x=5×11,9×11=55,99
विकल्प (a) सही है।
Example:18.₹ 53 A,B और C में इस तरह बाँटे जाते हैं कि A को B से ₹ 7 अधिक मिलते हैं और B को C से ₹ 8 अधिक मिलते हैं।उनके हिस्सों का अनुपात है:
(a) 16: 9: 18 (b) 25: 18: 10 (c) 18: 25: 10 (d) 15: 8: 30
Solution:माना c का हिस्सा=x
B का हिस्सा=x+8
A का हिस्सा=x+8+7=x+15
x+x+8+x+15=53 \\ \Rightarrow 3 x+23=53 \\ \Rightarrow 3 x=53-23 \\ \Rightarrow 3 x=30 \Rightarrow x=\frac{30}{3}=10
अनुपात=x+15:x+8:x=25:18:10
विकल्प (b) सही है।
Example:19.दो अंकों वाली एक संख्या और उसी संख्या के अंकों के योग का अनुपात 4:1 है।यदि इकाई का अंक दहाई के अंक से 3 अधिक है,तो वह संख्या क्या है?
(a) 24 (b)63 (c)42 (d)36
Solution:माना दहाई का अंक=x,इकाई का अंक=x+3
संख्या=10 x+x+3=11 x+3 \\ 11 x+3: x+x+3:: 4: 1 \\ \Rightarrow \frac{11 x+3}{4}=\frac{2 x+3}{1} \\ \Rightarrow 11 x+3=8 x+12 \\ \Rightarrow 11 x-8 x=12-3 \\ \Rightarrow 3 x=9 \Rightarrow x=\frac{9}{3}=3
संख्या=11x+3=11×3+3=36
विकल्प (d) सही है।
Example:20.यदि a:b:c=3:4:7 हो,तो (a+b+c):c बराबर होगा
(a) 2: 1 (b) 14: 3 (c) 7: 2 (d) 1: 2
Solution:(a+b+c):c=(3+4+7):7=14:7
=2:1
विकल्प (a) सही है।
Example:21.तीन संख्याएँ 3:2:5 के अनुपात में हैं।उनके वर्गों का योग 1862 है।इन संख्याओं में सबसे छोटी संख्या है
(a) 24 (b) 2 (c) 14 (d) 35
Solution:माना तीन संख्याएँ हैं=3x,2x,5x
(3 x)^2+(2 x)^2+(5 x)^2=1862 \\ \Rightarrow 9 x^2+4 x^2+25 x^2=1862 \\ \Rightarrow 38 x^2=1862 \\ \Rightarrow x^2=\frac{1862}{38}=49 \Rightarrow x=\sqrt{49}=7
सबसे छोटी संख्या=2x=2×7=14
विकल्प (c) सही है।
Example:22.एक समूह में 36 विद्यार्थी हैं,जिनमें लड़के तथा लड़कियाँ इस समूह में सम्मिलित की जाएँ जिससे लड़के तथा लड़कियों का अनुपात 9:5 हो जाए?
(a) 8 (b) 3 (c) 4 (d) 6
Solution:माना y लड़कियाँ और सम्मिलित की जाएंगी
\frac{3 x}{x+y}=\frac{9}{5} \\ \Rightarrow 15 x=9 x+9 y \\ \quad \Rightarrow 15 x-9 x=9 y \\ \quad \Rightarrow \quad 6 x=9 y \quad \Rightarrow 2 x=3 y \\  \Rightarrow y=\frac{2}{3} x \quad, \quad 3 x+x=36 \\ \Rightarrow y=\frac{2}{3} \times 9=6 , \quad \Rightarrow x=\frac{36}{4}=9
विकल्प (d) सही है।
Example:23.यदि \frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b} हो और यदि a>0, b>0, c>0 हो,तो प्रत्येक अनुपात किसके बराबर है?
(a) \frac{1}{2} (b) \frac{1}{3} (c) \frac{2}{3} (d)\frac{3}{4}
Solution: \frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b} \\ \Rightarrow \frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)} \\ \Rightarrow \frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}
विकल्प (a) सही है।
Example:24.दो संख्याओं का अनुपात 10:7 है और उसका अन्तर 105 है।उन संख्याओं का योग है
(a) 595 (b) 805 (c) 1190 (d) 1610
Solution:माना दोनों संख्याएँ=10x,7x
10 x-7 x=105 \\ \Rightarrow 3x=105 \Rightarrow x=\frac{105}{3}=35
संख्याओं का योग=10x+7x=17x=17×35=595
विकल्प (a) सही है।
Example:25.दो संख्याएँ 1:3 के अनुपात में हैं।यदि उनका योगफल 240 है,तो उनका अन्तर होगा
(a) 120 (b) 108 (c) 100 (d) 96
Solution:माना संख्याएँ=x,3x हैं।
x+3 x=240 \Rightarrow 4 x=240 \\ \Rightarrow x=\frac{240}{4}=60 \\ 3 x=3 \times 60=180
दोनों संख्याओं का अन्तर=180-60=120
विकल्प (a) सही है।
Example:26.A और B की आय का अनुपात 3:2 है और उनके व्यय का अनुपात 5:3 है।यदि दोनों ₹ 200 की बचत करते हैं,तो A की आय कितनी है?
(a) ₹ 800 (b) ₹ 1600 (c) ₹ 1200 (d) ₹ 2000
Solution:माना A की आय=3x,B की आय=2x
A का व्यय=5y,B की आय=2x
A का व्यय=5y,B का व्यय=3y
दोनों की बचत: 3x-5y=200   ….. (1)
2x-3y=200   …. (2)
(2) को 3 व (2) को 5 से गुणा करने परः
\begin{array}{ccc}9x-15y=600  \cdots(3) \\ 10x-15y=1000 \cdots (4) \\ - \quad \quad + \quad \quad - \text{घटाने पर:} \\ \hline \end{array}
-x=-400 \\  \Rightarrow x=400
A की आय=3x=3×400=1200
विकल्प (c) सही है।
Example:27.तीन संख्याओं का योगफल 98 है।यदि पहली संख्या का दूसरी से अनुपात 2:3 हो तथा दूसरी का तीसरी से अनुपात 5:8 हो,तो दूसरी संख्या होगी
(a) 49 (b) 48 (c) 30 (d) 20
Solution:माना तीन संख्याएँ a,b,c है
a:b=2:3, b:c=5: 8 \\ \Rightarrow a: b=10: 15, b: c=15: 24 \\ \Rightarrow a: b: c=10: 15: 24 \\ a=10 x, b=15 x, c=24 x \\ 10 x+15 x+24 x=98 \\ \Rightarrow 49 x=58 \Rightarrow x=\frac{58}{49}=2
दूसरी संख्या=15x=15×2=30
विकल्प (c) सही है।
Example:28.एक नियोक्ता अपने कर्मचारियों की संख्या 9:8 के अनुपात में घटाता है और उनका वेतन 14:15 के अनुपात में बढ़ाता है।कुल वेतन बिल की राशि में अन्तर जो मूलतः ₹ 1890 थी,उक्त दो परिवर्तनों के बाद होगी
(a) ₹ 100 (b) ₹ 100 (c) ₹ 120 (d) ₹ 90
Solution:मूलतः कर्मचारियों की संख्या=9x
घटाने के पश्चात कर्मचारियों की संख्या=8x
पूर्व में वेतन=14y
वेतन बढ़ाने के पश्चात वेतन=15y
9x \times 14y=1890 \Rightarrow x y=\frac{1890}{14 \times 9}=15
बाद में कुल वेतन=8x×15y=120xy
कुल वेतन में अन्तर=126xy-120xy=6xy
=6×15=90
विकल्प (d) सही है।
Example:29.एक स्कूल में लड़के व लड़कियों का अनुपात 7:3 है।यदि स्कूल में 195 लड़कियाँ है,तो कुल विद्यार्थियों की संख्या है
(a) 525 (b) 650 (c) 850 (d) 975
Solution:माना लड़कों की संख्या=7x
लड़कियों की संख्या=3x
कुल विद्यार्थियों की संख्या=\frac{\text{कुल अनुपात×लड़कियों की संख्या}}{\text{लड़कियों का अनुपात}} \\ =\frac{7 x+3 x}{3 x} \times 195=\frac{10 x}{3 x} \times 195=650
विकल्प (b) सही है।
Example:30.एक ब्याज मुक्त कर्ज को 40 माह में उतारने के लिए ₹ 180 प्रतिमाह की किस्त की आवश्यकता है।यदि इस कर्ज को 30 माह में उतारने का निश्चय किया जाए,तो प्रतिमाह कितने रुपये की किस्त देनी होगी?
(a) 230 (b) 240 (c) 250 (d) 260
Solution:माना किश्त की राशि=x
x:180::40:30
\Rightarrow 30 x=180 \times 40 \Rightarrow x=\frac{180 \times 40}{30}=240
विकल्प (b) सही है।

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio),गणित में समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio in Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.समानुपात तथा अनुपात की समस्याएँ (Proportion and Ratio Problems):

Proportion and Ratio

(1.)दो संख्याएँ 4:7 के अनुपात में हैं।प्रत्येक संख्या में से 10 घटा देने पर नई संख्याओं का अनुपात 1:2 हो जाता है,तो बड़ी संख्या है?
(a) 40 (b) 70 (c) 80 (d) 100
(2.)₹ 4200 को A,B तथा C में इस प्रकार बाँटा गया है कि A और B के हिस्सों का \frac{5}{9} भाग C के हिस्से के बराबर है,तो C का हिस्सा कितना होगा?
(a) ₹ 2700 (b) ₹ 1500 (c) ₹ 1200 (d) ₹ 1000
उत्तर (Answers):(1.) (b) (2.) (b)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio),गणित में समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समानुपात तथा अनुपात (Frequently Asked Questions Related to Proportion and Ratio),गणित में समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

समानुपात तथा अनुपात (Proportion and Ratio) पर आधारित विशिष्ट सवालों को
हल करके समझने का प्रयास करेंगे और अनुपात और समानुपात ज्ञात करना सीखेंगे।