1.एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Two Phase Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method):

How to Solve LPP by Two Phase Method?

एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Two Phase Method?) इस आर्टिकल में इसी द्विप्रावस्था विधि के द्वारा एलपीपी के सवालों को हल किया गया है।द्विप्रावस्था विधि वस्तुतः रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करने की एक वैकल्पिक विधि है।
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2.एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें पर आधारित उदाहरण (Examples Based on How to Solve LPP by Two Phase Method?):

निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करिए:
(Solve the following L.P.P. by two phase method):
Example:1.निम्नतम (Min.) $Z=2 x_1+9 x_2+x_3$
प्रतिबन्ध (s.t.) $x_1+4 x_2+2 x_3 \geq 5 \\ 3 x_1+x_2+2 x_3 \geq 4$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3 \geq 0$
Solution:सर्वप्रथम उद्देश्य फलन को अधिकतमीकरण की समस्या में बदलते हैं।चूँकि यह निम्नतमीकरण की समस्या है,तत्पश्चात प्रतिबन्ध असमिकाओं में $x_4$ तथा $x_5$ आधिक्यपूरक चर घटाने पर समस्या का परिवर्तित रूप निम्न प्रकार होगा:
अधिकतम $W=-2 x_1-9 x_2-x_3+0 x_4+0 x_5$
प्रतिबन्ध $x_1+4 x_2+2 x_3-x_4+0 x_5=5 \\ 3 x_1+x_2+2 x_3+0 x_4-x_5=4$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0$
इस समस्या का प्रारम्भिक हल प्राप्त नहीं कर सकते।चूँकि इसके गुणांक मैट्रिक्स में एकिक उपमैट्रिक्स $I_2$ विद्यमान नहीं है,अतः उपर्युक्त समीकरणों में कृत्रिम चर $x_6$ तथा $x_7$ जोड़ते हैं तथा उद्देश्य फलन में इनके मूल्य -1 रखते हैं तथा कृत्रिम चरों के अतिरिक्त अन्य चरों का मूल्य शून्य रखने पर:
अधिकतम $Z^{*}=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6 -x_7$
प्रतिबन्ध $x_1+4 x_2+2 x_3-x_4+0 x_5+x_6+0 x_7=5 \\ 3 x_1+x_2+2 x_3+0 x_4-x_5+0 x_6+ x_7=4$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_4, x_6, x_7 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

$\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 4 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right] =\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7\right) \\ \left(\alpha_6 \alpha_7 \right)=I_2$ अतः प्रथम चरण कि सारणी I का प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_6 \alpha_7\right)$ तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर (Non Negative) नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_{2}^*-C_{2}=-5$ निम्नतम है,अतः नये आधार के लिए प्रवेशी सदिश $\alpha_{2}$ होगा।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 2}}, y_{i 2}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{5}{4}, \frac{4}{1}\right\} \\ =\frac{5}{4} =\frac{x_{B1}}{y_{12}} \\ \therefore  y_{12}$ अर्थात् 4 मुख्य अवयव तथा $\alpha_{6}$ अपगामी सदिश  होगा। $\alpha_{6}$ चूँकि कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (Working rule):
मुख्य अवयव वाली प्रथम पंक्ति में मुख्य अवयव 4 का भाग देने पर द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{5}{4}, \frac{1}{4}, \frac{4}{4}=1, \frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \frac{-1}{4}, \frac{0}{4}=0, \frac{0}{4}=0$
द्वितीय पंक्ति:प्रथम प्रावस्था की प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव 1 से गुणा करके घटा देंगे:
$4-\frac{5}{4} \times 1=\frac{11}{4}, 3-\frac{1}{4} \times 1=\frac{11}{4}, 1-1 \times 1=0,2-\frac{1}{2} \times 1 =\frac{3}{2} \\ 0-\left(-\frac{1}{4}\right) \times 1=\frac{1}{4},-1-(0) \times 1=-1, 1-0 \times 1=1$
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर नहीं है।अतः आधारी हल इष्टतम हल नहीं है।नई सारणी के लिए $\alpha_{1}$ प्रवेशी सदिश होगा,चूँकि $Z_{1}^*-C_{1}$ का मान निम्नतम है।
पुनः $\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}} \left\{\frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}, \frac{\frac{11}{4}}{\frac{11}{4}}\right\} \\ =\frac{\frac{11}{4}}{\frac{11}{4}} =\frac{x_{B2}}{y_{21}} \\ \therefore  y_{21}$ अर्थात् $\frac{11}{4}$ मुख्य अवयव है तथा $\alpha_{7}$ अपगामी सदिश होगा।चूँकि $\alpha_{7}$ एक कृत्रिम चर है,अतः नई सारणी में इसे सम्मिलित नहीं करेंगे।पुनः सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (Working rule):
प्रथम प्रावस्था की द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति मुख्य मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः द्वितीय पंक्ति के अवयवों में मुख्य अवयव $\frac{11}{4}$ का भाग देने पर तृतीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{\frac{11}{4}}{\frac{11}{4}}=1, \frac{\frac{11}{4}}{\frac{11}{4}}=1, \frac{0}{\frac{11}{4}}=0, \frac{\frac{3}{2}}{\frac{11}{4}}=\frac{6}{11}, \frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{4}}=\frac{1}{11}, \frac{-1}{\frac{11}{4}}=-\frac{4}{11}$
प्रथम पंक्ति:प्रथम प्रावस्था की द्वितीय सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव $\frac{1}{4}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{5}{4}-1 \times \frac{1}{4}=1, \frac{1}{4}-1 \times \frac{1}{4}=0,1-0 \times \frac{1}{4}=1, \frac{1}{2}-\frac{6}{11} \times \frac{1}{4}=\frac{4}{11} ,\\ -\frac{1}{4}-\frac{1}{11} \times \frac{1}{4}=-\frac{3}{11} , 0-\left(-\frac{4}{11}\right) \times \frac{1}{4}=\frac{1}{11}$
प्रथम प्रावस्था:सारणी III

चूँकि $Z_j^*-C_j \geq 0$ तथा कोई भी कृत्रिम चर आधार में नहीं है,अतः प्रथम चरण इस स्थिति में समाप्त होता है।अतः इस सारणी से प्राप्त हल मूल समस्या का आधारी सुसंगत हल है।अब द्वितीय प्रावस्था (Phase II) में प्रवेश करते हैं।उद्देश्य फलन

$W=-2 x_1-9 x_2+x_3+0 x_4+0 x_5$
द्वितीय चरण:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z_j-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर $\geq 0$ नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।नई सारणी के लिए $\alpha_{3}$ प्रवेशी सदिश होगा।चूँकि $Z_3^*-C_3$ का मान निम्नतम है।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{1}{\frac{4}{11}}, \frac{1}{\frac{6}{11}}\right\} \\ =\frac{1}{\frac{6}{11}} =\frac{x_{B2}}{y_{23}} \\ \therefore  y_{23}$ अर्थात् $\frac{6}{11}$ मुख्य अवयव है तथा $\alpha_{1}$ अपगामी सदिश होगा।पुनः सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (Working rule):
द्वितीय प्रावस्था की प्रथम सारणी की द्वितीय पंक्ति मुख्य अवयव वाली पंक्ति है।अतः द्वितीय पंक्ति के अवयवों में मुख्य अवयव $\frac{6}{11}$ का भाग देने पर द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{1}{\frac{6}{11}}=\frac{11}{6}, \frac{1}{\frac{6}{11}}=\frac{11}{6}, \frac{0}{\frac{6}{11}}=0, \frac{\frac{6}{11}}{\frac{6}{11}}=1, \frac{\frac{1}{11}}{\frac{6}{11}}=\frac{1}{6}, \frac{-\frac{4}{11}}{\frac{6}{11}}=\frac{-2}{3}$
प्रथम पंक्ति:द्वितीय प्रावस्था की प्रथम सारणी की प्रथम पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयव वाली पंक्तियों के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत प्रथम पंक्ति के अवयव $\frac{4}{11}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$1-\frac{11}{6} \times \frac{4}{11}=\frac{1}{3}, 0-\frac{11}{6} \times \frac{4}{11}=-\frac{2}{3}, 1-0 \times \frac{4}{11}=1, \\ \frac{4}{11}-1 \times \frac{4}{11}=0,-\frac{3}{11}-\frac{1}{6} \times \frac{4}{11}=-\frac{1}{3}, \frac{1}{11}-\left(-\frac{2}{3}\right) \frac{4}{11}=\frac{1}{3}$
द्वितीय चरण:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में $Z_j-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर $\left( \geq 0 \right)$ नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।नई सारणी के लिए प्रवेशी सदिश $\alpha_{5}$ होगा,चूँकि $Z_5^{*}-C_5=-\frac{7}{3}$ निम्नतम है।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 5}}, y_{i 5}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} \right\} \\ =\frac{x_{B1}}{y_{15}} \\ \therefore  y_{15}$ अर्थात् $\frac{1}{3}$ मुख्य अवयव है तथा $\alpha_{2}$ अपगामी सदिश होगा।पुनः सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
मुख्य अवयव वाली पंक्ति (Working rule):
मुख्य अवयव वाली पंक्ति प्रथम पंक्ति है।अतः द्वितीय चरण की द्वितीय सारणी के लिए प्रथम पंक्ति के अवयवों में मुख्य अवयव $\frac{1}{3}$ का भाग देने पर तृतीय सारणी की प्रथम पंक्ति तैयार होगी:

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=1, \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=-2, \frac{1}{\frac{1}{3}}=3, \\ \frac{0}{\frac{1}{3}}=0, \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=-1, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=1$
द्वितीय पंक्ति:द्वितीय सारणी की द्वितीय पंक्ति के अवयवों में से मुख्य अवयवों वाली पंक्ति के अवयवों अर्थात् उपर्युक्त अवयवों को मुख्य अवयव के संगत द्वितीय पंक्ति के अवयव $-\frac{2}{3}$ से गुणा करके घटा देंगे:

$\frac{1}{6}-1 \times \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{2}, \frac{11}{6}-(-2) \times\left(-\frac{2}{3}\right) =\frac{1}{2}, \\ 0-3 \times\left(-\frac{2}{3}\right)=2,1-0 \times \left(-\frac{2}{3}\right)=1,\\ \frac{1}{6}-(-1) \times\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{2},-\frac{2}{3}-1 \times\left(-\frac{2}{3}\right)=0$
द्वितीय चरण:सारणी III

चूँकि प्रत्येक $Z_j-C_j \geq 0$ हैं,अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है:

$x_1=0, x_2=0, x_3=\frac{5}{2}, x_4=0, x_5=1$
अतः दी गई समस्या का इष्टतम हल:
$x_1=0, x_2=0, x_3=\frac{5}{2}$ है।
अधिकतम $W=-2 x_1-9 x_1-x_3 \\ =-2 \times 0-9 \times 0-\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}$
अर्थात् निम्नतम $Z=\frac{5}{2}$

How to Solve LPP by Two Phase Method?

Example:2.निम्नतम (Min.) $Z=\frac{15}{2} x_1-3 x_2$
प्रतिबन्ध (s.t.) $3 x_1-x_2-x_3 \geq 3 \\ x_1-x_2+x_3 \geq 2$
तथा (and) $x_1, x_2, x_3 \geq 0$
Solution:सर्वप्रथम उद्देश्य फलन को अधिकतमीकरण की समस्या में बदलते हैं।चूँकि यह निम्नतमीकरण की समस्या है,तत्पश्चात प्रतिबन्ध असमिकाओं में $x_4$ तथा $x_5$ आधिक्यपूरक चर घटाने पर समस्या का परिवर्तित रूप निम्न प्रकार होगा:
अधिकतम $W=\frac{15}{2} x_1+3 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5$
प्रतिबन्ध $3 x_1-x_2-x_3-x_4+0 x_5=3 \\ x_1-x_2+x_3+0 x_4-x_5=2$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0$
इस समस्या का प्रारम्भिक हल प्राप्त नहीं कर सकते।चूँकि इसके गुणांक मैट्रिक्स में एकिक उपमैट्रिक्स $I_2$ विद्यमान नहीं है,अतः उपर्युक्त समीकरणों में कृत्रिम चर $x_6$ तथा $x_7$ जोड़ते हैं तथा उद्देश्य फलन में इनके मूल्य -1 रखते हैं तथा कृत्रिम चरों के अतिरिक्त अन्य चरों का मूल्य शून्य रखने पर:
अधिकतम $Z^*=0 x_1+0 x_2+6 x_3+0 x_4+x_5-x_6-x_7$
प्रतिबन्ध $3 x_1-x_2-x_3-x_4+0 x_5+x_6+0 x_7=3 \\ x_1-x_2+x_3+0 x_4-x_5+x_6+x_7=2$
तथा $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \geq 0$
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

$\left[\begin{array}{ccccccc} 3 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7\right) \\ \left(\alpha_6 \alpha_7\right)=I_{2}$ अतः प्रथम चरण की सारणी I का प्रारम्भिक आधार $B=\left(\alpha_6 \alpha_7\right)$ तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम चरण:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर (Non Negative) नहीं है,अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_1^*-C_1=-4$  निम्नतम है,अतः नये आधार के लिए $\alpha_{1}$ प्रवेशी सदिश होगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 1}}, y_{i 1}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{3}{3}, \frac{2}{1}\right\} \\ =\frac{3}{3} =\frac{x_{B1}}{y_{11}} \\ \therefore  y_{11}$ अर्थात् 3 मुख्य अवयव तथा $\alpha_{6}$ अपगामी सदिश होगा। $\alpha_{6}$ चूँकि कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$ के सभी मान ऋणेत्तर नहीं हैं।अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।नई सारणी के लिए $\alpha_{3}$ प्रवेशी सदिश होगा चूँकि $Z_3-C_3=-\frac{4}{3}$ निम्नतम है।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{1}{\frac{4}{3}}\right\} \\ =\frac{x_{B2}}{y_{23}} \\ \therefore  y_{23}$ अर्थात् $\frac{4}{3}$ मुख्य अवयव है तथा $\alpha_{7}$ अपगामी सदिश होगा।चूँकि $\alpha_{7}$ एक कृत्रिम चर है,अतः नई सारणी में इसे सम्मिलित नहीं करेंगे।पुनः सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी III

चूँकि $Z_j^*-C_j \geq 0$ तथा कोई भी कृत्रिम चर आधार में नहीं है,अतः प्रथम चरण इस स्थिति में समाप्त होता है।अतः इस सारणी से प्राप्त हल मूल समस्या का आधारी सुसंगत हल है।अब द्वितीय प्रावस्था (Phase II) में प्रवेश करते हैं।उद्देश्य फलन

$W=-\frac{15}{2} x_1+3 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5$
द्वितीय चरण:सारणी I

चूँकि प्रत्येक $Z_j^*-C_j \geq 0$ है,अतः इसका आधारी हल इष्टतम होगा जो निम्न प्रकार है:

$x_1=\frac{5}{4}, x_2=0, x_3=\frac{3}{4}, x_4=0, x_5=0$
अतः दी गई समस्या का इष्टतम हल होगा:
$x_1=\frac{5}{4}, x_2=0$ तथा $x_3=\frac{3}{4}$ है।
अधिकतम $W=-\frac{15}{2} x_1+3 x_2+0 x_3 \\ =-\frac{15}{2} \times \frac{5}{4}+3 \times 0+0 \times \frac{3}{4} \\ =-\frac{75}{8}$
अर्थात् निम्नतम $Z=\frac{75}{8}$
Example:3.अधिकतम (Max.) $Z=10 x_1+9 x_2+7 x_2+x_4+5 x_5$
प्रतिबन्ध (s.t.) $-x_2+x_3+x_5=5 \\ x_1+x_2+x_3+x_5=5 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3+x_4+x_5=10$
तथा (and) $x \geq 0, j=1,2,3,4,5$
Solution:मानक रूप में रखने पर:

Max. $Z=10 x_1+9 x_2+7 x_3+7 x_4+5 x_5$
S.t. $0 x_1-x_2+x_3+0 x_4+x_5=5 \\ x_1+x_2+x_3+0 x_4+x_5=5 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3+x_4+x_5=10$
and $x \geq 0 , j=1,2,3,4,5$
उपर्युक्त समस्या में एकिक सदिश $I_{3}$ विद्यमान नहीं है।अतः कृत्रिम चर $x_6,x_7$ तथा $x_8$ जोड़ते हैं तथा प्रथम प्रावस्था में उद्देश्य फलन में इनका मान -1 लेने तथा $x_6,x_7$ व $x_8$ के अतिरिक्त प्रत्येक चर का मान शून्य लेने पर दी गई समस्या का उद्देश्य फलन निम्न हो जाता है:

Max $Z^*=0 x_1+0 x_2+0 x_3+0 x_4+0 x_5-x_6-x_7-x_8$
s.t. $0 x_1-x_2+x_3+0 x_4+x_5+x_6+0 x_7+0 x_8=5 \\ x_1+x_2+x_3+0 x_4+x_5+0 x_6+x_7+0 x_8=5 \\ 2 x_1+3 x_2+4 x_3+x_4+x_5+x_6+0 x_7+x_8=10$
and $x_j \geq 0, j=1,2,3,4,5,6,7,8$
अब प्रतिबन्ध निकाय का गुणांक मैट्रिक्स

$\left[\begin{array}{cccccccc} 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 \alpha_5 \alpha_6 \alpha_7 \alpha_8 \right) \\ (\alpha_6 \alpha_7 \alpha_8)=I_{3}$ अतः प्रथम चरण की सारणी का प्रारम्भिक आधार $B=(\alpha_6 \alpha_7 \alpha_8)$ तथा सारणी निम्न प्रकार होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी I

उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$  के सभी मान ऋणेत्तर (Non Negative) नहीं है अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_3-C_3=-6$ निम्मतम है,अतः नये आधार के लिए $\alpha_3$ प्रवेशी सदिश होगा:
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 3}}, y_{i 3}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{5}{1},\frac{5}{1},\frac{10}{4}\right\} \\ =\frac{10}{4}=\frac{x_{B3}}{y_{33}} \\ \therefore  y_{33}$ अर्थात् 4 मुख्य अवयव तथा $\alpha_8$ अपगामी सदिश होगा।चूँकि $\alpha_8$ कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी II

उपर्युक्त सारणी में $Z_j^*-C_j$  के सभी मान ऋणेत्तर (Non Negative) नहीं है अतः आधारी हल इष्टतम नहीं है।
$Z_5-C_5=-\frac{3}{2}$  निम्नतम है,अतः नये आधार के लिए $\alpha_5$ प्रवेशी सदिश हैगा।
$\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{x_{B i}}{y_{i 5}}, y_{i 5}>0\right\}=\underset{i}{\text{निम्नतम}}\left\{\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{4}},\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{4}}\right\}$
चूँकि 1 निम्नतम मान है,अतः $\alpha_6$ तथा $\alpha_7$ दोनों ही अपगामी सदिश होंगे।यह अपभ्रष्टता विद्यमान होने का संकेत है।
केवल उन पंक्तियों के लिए जिनके अनुपात समान है।
निम्नतम {$\frac{\text{प्रथम आधारी (Basis) स्तम्भ का अवयव}}{\text{मुख्य स्तंभ का संगत अवयव}}$}

=निम्नतम{ $\frac{y_6 \text{ के नीचे वाले स्तंभ का अवयव}}{y_5 \text{ के नीचे वाले स्तंभ का अवयव}}$ }
=निम्नतम $\left\{ \frac{1}{\frac{3}{4}},\frac{0}{\frac{3}{4}} \right\} =\frac{0}{\frac{3}{4}}=\frac{x_{B2}}{y_{25}} \\ \therefore  y_{25}$ अर्थात् $\frac{3}{4}$ मुख्य अवयव तथा $\alpha_7$ अपगामी सदिश होगा।चूँकि $\alpha_7$ एक कृत्रिम चर है,अतः इसे नई सारणी में सम्मिलित नहीं करेंगे।अब सामान्य रूपान्तरणों से नवीन आधारी हल के लिए निम्न सारणी होगी:
प्रथम प्रावस्था:सारणी III

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Two Phase Method?) को समझ सकते हैं।

3.एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें पर आधारित सवाल (Questions Based on How to Solve LPP by Two Phase Method?):

How to Solve LPP by Two Phase Method?

(1.)निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को द्विप्रावस्था विधि से हल करिए:
(Solve the following L. P. P. by two phase method):
निम्नतम (Min.) $Z=x_1+x_2$
प्रतिबन्ध (s.t.) $2x_1+x_2 \geq 4 \\ x_1+7 x_2 \geq 7$
तथा (and) $x_1, x_2 \geq 0$
(2.)निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को द्विप्रावस्था विधि से हल करिए:
(Solve the following L. P. P. by two phase method):
निम्नतम (Min.) $Z=3x_1+2x_2$
प्रतिबन्ध (s.t.) $2x_1+x_2 \leq 2 \\ 3x_1+4x_2 \geq 12$
तथा (and) $x_1, x_2 \geq 0$
उत्तर (Answers):(1.) $x_1=\frac{21}{13}, x_2=\frac{10}{13}$ ,min Z=$\frac{31}{13}$ 
(2.)कोई सुसंगत हल नहीं

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Two Phase Method?) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- How to Solve LPP with Simplex Method?

4.एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें? (Frequently Asked Questions Related to How to Solve LPP by Two Phase Method?),रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को द्विप्रावस्था विधि से हल करना (To Solve Linear Programming Problems by Two Phase Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

एलपीपी को द्विप्रावस्था विधि द्वारा कैसे हल करें? (How to Solve LPP by Two Phase Method?)
इस आर्टिकल में इसी द्विप्रावस्था विधि के द्वारा एलपीपी के सवालों को हल किया गया है।