1.द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways),द्विमार्गीय वर्गीकरण में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways Classification):

Analysis of Variance in Two Ways

द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways) के इस आर्टिकल में द्विमार्गीय वर्गीकरण में समंकों वाले सवालों को F-Test के द्वारा हल करके सार्थकता परीक्षण ज्ञात करना सीखेंगे।
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2.द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण के साधित उदाहरण (Analysis of Variance in Two Ways Solved Illustrations):

Illustration:15.निम्न तालिका में विभिन्न क्षेत्रों में चार विक्रेताओं द्वारा की गई मासिक बिक्री (हजार रु. में) दी हुई है।उपर्युक्त तथ्यों से एक प्रसरण-विश्लेषण सारणी की रचना कीजिए।F-गुणांक परिकलित कीजिए और (i) विक्रेताओं के मध्य,तथा (ii)क्षेत्रों के मध्य अन्तरों की सार्थकता के बारे में अपने निष्कर्ष दीजिए:
(The following table gives the average monthly sale (in thousand Rs.) of four salesmen calculate variance-ratios (F) and state your inference regarding significance of differences (i)between salesmen and (ii)between territories):

Solution:Calculation Table of Analysis of Variance

वर्ग

संशोधन कारक C.F.=\frac{T^2}{N}=\frac{72 \times 72}{12}=432
कुल वर्ग योग (SST)=\Sigma \left(X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\right)-\frac{T^2}{N}
=462-432=30
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=cr-1=12-1=13  (N=cr)
अन्तःस्तम्भ वर्ग-योग (SSC):
=\frac{\Sigma\left(\Sigma X_c\right)^2}{n_c}-\frac{T^2}{N} \\ = \frac{(21)^2+(18)^2+(15)^2+(18)^2}{3}-432 \\ = \frac{441+324+225+324}{3}-432 \\ = \frac{1314}{3}-432=438-432=6
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=c-1=4-1=3
अन्तःपंक्ति वर्ग-योग (SSR):
=\frac{\sum\left(\sum X_r\right)^2}{n_r}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(20)^2+(24)^2+(28)^2}{4}-432 \\ =\frac{400+576+784}{4}-432=\frac{1760}{4}-432 \\ =440-432=8
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=r-1=3-1=2
अवशिष्ट वर्ग योग (Residual S.S.-SSE):
=Total S.S.-(Between Columns S.S.+Between Rows S.S.)
=30-(6+8)=16
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=(c-1)(r-1)=3×2=6
प्रसरण-विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्ग-योग} & \text{स्वातन्त्र्य-कोटि} &\text{प्रसरण}  & \text{प्रसरणानुपात} \\ \text{Source} & \text{S.S.} & \text{df} & \text{M.S.S.} & \text{(F)} \\ \hline & & & & \\ \text{(1.)अन्तःस्तम्भ } & 6 & 3 & 2 & F=\frac{2}{2.67} \\ \text{(Between Salesmen)} & & & & F \approx 0.75 \\ \hline \text{(2.)अंतःपंक्ति } & 8 & 2 & 4 & F=\frac{4}{2.67} \\ \text{(Between Territory)} & & & & F \approx 1.50\\ \hline \text{(3.)अवशिष्ट } & 16 & 6 & 2.67 & \\ \text{(Residual)} & & & & \\ \hline \text{कुल योग} & 30 & 11 & & \\ \hline \end{array}
अन्तःस्तम्भ प्रसरण (Between Salesmen)
परिकलित F \approx 0.75 सारणी मान
F_{.05} \left(\text { for } v_1=3, v_2=6\right)=4.76
F < F_{.05} अतः सार्थक अन्तर नहीं है।
अन्तःपंक्ति प्रसरण (Between Salesmen)
परिकलित F \approx 1.50 सारणी मान F_{.05} \left(\text { for } v_1=2, v_2=6\right)=5.14
F < F_{.05} अतः सार्थक अन्तर नहीं है।

Analysis of Variance in Two Ways

Illustration:16.एक चाय कम्पनी ने A,B,C व D चार विक्रेताओं को नियुक्त किया और तीन ऋतुओं-ग्रीष्म,मानसून व शरद में उनके द्वारा की गई बिक्री ज्ञात की।विक्रय-समंक (लाखों में) निम्नांकित है।प्रसरण-विश्लेषण कीजिए और अपने निष्कर्ष निकालिए:
(A tea company appoints four salesmen A,B,C and D and observes their sales performance in three seasons of the year viz, summer,Monsoon and winter.The figures of sales, in lakhs of Rs., are given in the following table. Carry out an analysis of variance and interpret your inference):

Solution:Calculation Table of Analysis of Variance
मूलबिन्दु X=30 को मानकर और सभी समंकों में से 30 घटाने पर तथा उनके वर्ग करने पर निम्न सारणियाँ प्राप्त होंगीः

वर्ग

संशोधन कारक C.F.=\frac{T^2}{N}=\frac{0}{12}=0
कुल वर्ग योग (SST)=\Sigma\left(X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\right)-\frac{T^2}{N} \\ = 210-0=210
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=cr-1=12-1=11  (N=cr)
अन्तःस्तम्भ वर्ग-योग (SSC):
=\frac{\Sigma\left(\Sigma X_c\right)^2}{n_c}-\frac{T^2}{N} \\ \frac{(0)^2+(+3)^2+(-9)^2+(6)^2}{3}-0 \\ \approx \frac{9+81+36}{3}=\frac{126}{3} \\ \approx 42
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=c-1=4-1=3
अन्तःपंक्ति वर्ग-योग (SSR):
=\frac{\Sigma \left(\Sigma X_r\right)^2}{n_r}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(+8)^2+(-8)^2+(0)^2}{4}-0 \\ =\frac{64+64}{4} -0 \\ \approx \frac{128}{4}-0 \\ \approx 32-0 \\ \approx 32
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=r-1=3-1=2
अवशिष्ट वर्ग योग (Residual S.S.-SSE):
=Total S.S.-(Between Columns S.S.+Between Rows S.S.)
=210-(42+32)
=210-74=136
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=(c-1)(r-1)=3×2=6
प्रसरण-विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्ग-योग} & \text{स्वातन्त्र्य-कोटि} &\text{प्रसरण}  & \text{प्रसरणानुपात} \\ \text{Source} & \text{S.S.} & \text{df} & \text{M.S.S.} & \text{(F)} \\ \hline & & & & \\ \text{(1.)अन्तःस्तम्भ } & 42 & 3 & 14 & F=\frac{22.67}{14} \\ \text{(Between Salesmen)} & & & & F \approx 1.62 \\ \hline \text{(2.)अंतःपंक्ति } & 32 & 2 & 16 & F=\frac{22.67}{16} \\ \text{(Between Territory)} & & & & F \approx 1.42 \\ \hline \text{(3.)अवशिष्ट } & 136 & 6 & 22.67 & \\ \text{(Residual)} & & & & \\ \hline \text{कुल योग} & 210 & 11 & & \\ \hline \end{array}
अन्तःस्तम्भ प्रसरण (Between Salesmen)
परिकलित F \approx 1.62 सारणी मान
F_{.05} \left(\text { for } v_1=3, v_2=6\right)=4.76
अतः F < F_{.05} सार्थक अन्तर नहीं है।
अन्तःपंक्ति प्रसरण (Between Salesmen)
परिकलित F \approx 1.42 सारणी मान
F_{.05} \left(\text{for} v_1=2, v_2=6\right)=5.14
अतः F < F_{.05} सार्थक अन्तर नहीं है।
Illustration:17.एक लैटिन वर्ग अभिकल्पना में गेहूं की चार किस्मों का परीक्षण किया गया।प्रयोग-परियोजना और प्रति खेत उपज निम्नांकित है।समंकों का विश्लेषण कीजिए और परिणामों का निर्वचन कीजिए:
(In a Latin square design experiments were conducted on four strains of wheat. The experimental design and yield per plot are given below. Analyse the data and interpret the results):

Solution:यह 4×4 लैटिन वर्ग है।मूलबिन्दु को X=20 पर स्थिर करने पर (अर्थात् प्रत्येक समंक में से 20 घटाने पर) निम्न सारणी प्राप्त होगी:
मूलबिन्दु X=20
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & \Sigma X_r \\ \hline X_1 & +5 & +3 & 0 & 0 & 8 \\ \hline X_2 & -1 & -1 & +1 & -2 & -3 \\ \hline X_3 & -1 & -6 & -3 & 0 & -10 \\ \hline X_4 & -3 & 0 & +1 & -5 & -7 \\ \hline \Sigma X_c & 0 & -4 & -1 & -7 & -12 \\ \hline \end{array}
वर्ग
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & X_1^2 & X_2^2 & X_3^2 & X_4^2 & Total \\ \hline X_1^2 & 25 & 9 & 0 & 0 & 34 \\ \hline X_2^2 & 1 & 1 & 1 & 4 & 7 \\ \hline X_3^2 & 1 & 36 & 9 & 0 & 46 \\ \hline X_4^2 & 9 & 0 & 1 & 25 & 35 \\ \hline \text{Total} & 36 & 46 & 11 & 29 & 122 \\ \hline \end{array} \\ \Sigma \left(X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\right)=122
संशोधन कारक C.F.=\frac{T^2}{N}=\frac{-12 \times-12}{16}=9
कुल वर्ग योग (SST)=
\Sigma \left(X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2\right)-\frac{T^2}{N}=122-9=113
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=cr-1(N=cr)
(df_{T})=n^2-1=4^2-1=15
‘अन्तःस्तम्भ’ वर्गों का जोड़ (‘Between Cols.’S.S.):
=\frac{\Sigma \left(\Sigma X_c\right)^2}{n}-\frac{T^2}{N}=\frac{(0)^2+(-4)^2+(-1)^2+(-7)^2}{4}-9 \\ =\frac{16+1+49}{4}-9=\frac{66}{4}-9=16.5-9=7.5
स्वातन्त्र्य संख्या (df)=n-1=4-1=3
‘अन्तःपंक्ति’ वर्ग-जोड़ (Between Rows S.S.):
=\frac{\Sigma\left(\Sigma X_r\right)^2}{n}-\frac{T^2}{N}=\frac{(8)^2+(-3)^2+(-10)^2+(-7)^2}{4}-9 \\ =\frac{64+9+100+49}{4}-9=\frac{222}{4}-9=55.5-9 \\ =46.5
स्वातन्त्र्य संख्या \left(d f_r\right)=n-1=4-1=3
‘अन्तःअभिक्रिया ‘ वर्ग-योग (Between Treatments S.S.):इसके लिए सारणी निम्न प्रकार विन्यसित की जायेगी:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & A & B & C & D \\ \hline 1 & 0 & +3 & +5 & 0 \\ 2 & -1 & -2 & +1 & -1 \\ 3 & -6 & -1 & 0 & -3 \\ 4 & -5 & +1 & 0 & -3 \\ \hline \Sigma X_t & -12 & +1 & +6 & -7 \\ \hline \end{array}
अन्तःअभिक्रिया (वर्ण) वर्ग-योग
=\frac{\sum\left(\sum x_t\right)^2}{n}-\frac{T^2}{N} \\ =\frac{(-12)^2+(1)^2+(6)^2+(-7)^2}{4}-9 \\ =\frac{144+1+36+49}{4}-9=\frac{230}{4}-9=57.5-9 \\ =48.5
स्वातन्त्रय संख्या \left(d f_{t}\right)=4-1=3
अवशिष्ट (त्रुटि) वर्ग-योग (Residual S.S.-SSE):
=Total S.S.-(Between Columns S.S.+Between Rows S.S.+Between Treatments S.S.)
=113-(7.5+46.5+48.5)=113-102.5=10.5
स्वातन्त्र्य संख्या \left(df_t\right)=(n-1)(n-2)=(4-1)(4-2)
=3×2=6
प्रसरण-विश्लेषण सारणी
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{प्रसरण स्रोत} & \text{वर्ग-योग} & \text{स्वातन्त्र्य-कोटि} &\text{प्रसरण}  & \text{प्रसरणानुपात} & \text{} \\ \text{Source} & \text{S.S.} & \text{df} & \text{M.S.S.} & \text{(F)} & F_{.05}\\ \hline & & & & \\ \text{(1.)अन्तःस्तम्भ } & 7.5 & 3 & 2.5 & F_1=\frac{2.5}{1.75} & 4.76 \\ \text{(Between Salesmen)} & & & & F \approx 1.43 \\ \hline \text{(2.)अंतःपंक्ति } & 46.5 & 3 & 15.5 & F_2=\frac{15.5}{1.75} & 4.76 \\ \text{(Between Territory)} & & & & F \approx 8.86 \\ \hline \text{(3.)अन्तःअभिक्रिया } & 48.5 & 3 & 16.17 & F_3=\frac{16.17}{1.75} & 4.76 \\ \text{ (Bet. Treatments)} & & & & \approx 9.24 \\ \hline \text{(4.)अवशिष्ट } & 10.5 & 6 & 1.75 & & \\ \text{(Residual)} & & & & & \\ \hline \text{कुल योग} & 113 & 15 & & \\ \hline \end{array}
(1.)अन्तःस्तम्भ प्रभाव के लिए F परिकलित 1.43 < F_{0.05} (4.76) F सारणी मान
अतः सार्थक अन्तर नहीं है।
(2.)अन्तःपंक्ति प्रभाव F(8.86) > F_{0.05} (=4.76) परिकलित F सारणी मान
अतः सार्थक अन्तर है।
(3.)अन्तः वर्ण (उपजाति) प्रभाव (Between Treatments)
F(=9.24) > F_{0.05} (=4.76)
सार्थक अन्तर है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways),द्विमार्गीय वर्गीकरण में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways Classification) को समझ सकते हैं।

3.द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण के सवाल (Analysis of Variance in Two Ways Questions):

Analysis of Variance in Two Ways

(1.)एक समान आकार-प्रकार की भूमि के पाँच खण्डों में से प्रत्येक पर चार प्रकार के आलू बोये गये और प्रत्येक प्रकार पर पाँच विभिन्न उर्वरकों का उपचार किया गया उपज (कुन्तल में) निम्न प्रकार है:
 \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{प्रकार} & \text{ उर्वरक } \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 19 & 22 & 26 & 18 & 21 \\ 2 & 25 & 19 & 23 & 26 & 22 \\ 3 & 17 & 19 & 22 & 20 & 21 \\ 4 & 21 & 18 & 25 & 23 & 24 \\ \hline \end{array}
प्रसरण-विश्लेषण द्वारा यह ज्ञात कीजिए कि क्या (क)प्रकार की उपज में (उर्वरकों से स्वतन्त्र) कोई सार्थक अन्तर है?
(2.)पाँच विभिन्न उर्वरकों तथा विभिन्न प्रकार की उर्वरता वाले खेतों पर किए गए एक कृषि प्रयोग से निम्न लैटिन-वर्ग अभिकल्पना (Latin Square Design) प्राप्त होती है।
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline A_{16} & B_{10} & C_{11} & D_{9} & E_{9} \\ \hline E_{10} & C_9 & A_{14} & B_{12} & D_{11} \\ \hline B_{15} & D_8 & E_8 & C_{10} & A_{18} \\ \hline D_{12} & E_6 & B_{13} & A_{13} & C_{12} \\ \hline C_{13} & A_{11} & D_{10} & E_7 & B_{14} \\ \hline \end{array}
प्रसरण विश्लेषण करके अपने निष्कर्ष प्रस्तुत कीजिए।
उत्तर (Answers):(1.)अन्तःस्तम्भ प्रसरण (खादों के बीच),
F(=2.032)< F_{.05} ( For v_1=4, v_2=12 ) =3.26
अन्तःपंक्ति प्रसरण (प्रकारों के बीच)
F(=1.676)< F_{.05} (For v_1=3, v_2=12 ) =3.49
अतः दोनों में कोई सार्थक अन्तर नहीं है।
(2.)अन्तःस्तम्भ प्रभाव, F(=37.8) > F_{0.05}(=3.26) कालम प्रभाव सार्थक है।
अन्तःपंक्ति प्रभाव F(=1.2) > F_{0.05} (=3.26) पंक्ति प्रभाव सार्थक अन्तर नहीं है।
अन्तवर्ण (उपजाति), F(=69.6) > F_{0.05}(=3.26) प्रभाव सार्थक है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways),द्विमार्गीय वर्गीकरण में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways Classification) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण (Frequently Asked Questions Related to Analysis of Variance in Two Ways),द्विमार्गीय वर्गीकरण में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways Classification) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

द्विमार्गीय में प्रसरण-विश्लेषण (Analysis of Variance in Two Ways) के इस आर्टिकल में
द्विमार्गीय वर्गीकरण में समंकों वाले सवालों को F-Test के द्वारा हल करके सार्थकता परीक्षण
ज्ञात करना सीखेंगे।