1.विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ (Counting Techniques in Discrete Mathematics):

Counting Techniques

विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ (Counting Techniques in Discrete Mathematics) के इस आर्टिकल में संचय,क्रमचय के द्वारा कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ उदाहरण (Counting Techniques in Discrete Mathematics Illustrations):

Illustration:1.पूर्णांकों 0,1,……..9 से 6 अंकों वाले कितने टेलिफ़ोन नम्बर हो सकते हैं यदि प्रत्येक नम्बर 25 से प्रारम्भ होता है तथा किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होती?
(How many 6-digit telephone numbers can be formed from integers 0,1,……,9 if each number starts with 25 and no digits repeated?):
Solution:0 से 9 तक कुल 10 अंकों में से 2 और 5 को हटाने पर शेष 8 अंक हैं।अब 8 अंकों को 6-2=4 स्थानों पर विन्यस्त किया जा सकता है।अतः 25 से प्रारम्भ होने वाले कुल टेलीफोन नम्बरों के कुल विन्यास={}^8 P_4=\frac{8!}{(8-4)!} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!}=1680
Illustration:2.”ALLAHABAD” शब्द के सभी वर्णों को लेकर कितने शब्द बनाए जा सकते हैं यदि दोनों L किसी भी शब्द में साथ नहीं हो?
(How many words from all the letters of the word “ALLAHABAD” can be formed if both L do not appear in any of the word?):
Solution:ALLAHABAD के 9 वर्णों को लेकर बनाये शब्द जबकि दोनों L साथ नहीं हो:
=\frac{9!}{2!4!}-\frac{8!}{2!4!}

Counting Techniques

Illustration:3.n-भुजाओं वाले किसी बहुभुज में कुल कितने विकर्ण हो सकते हैं?
(How many diagonals can be there in a polygon with n-sides?):
Solution:n-भुजाओं वाले बहुभुज में n शीर्ष हैं,इन शीर्षों में से दो-दो को मिलाने वाली रेखाओं की संख्या ={}^n C_2=\frac{n(n-1)}{2} होगी।लेकिन इनमें बहुभुज की n भुजाएँ भी शामिल हैं।
अतः विकर्णों की संख्या=\frac{n(n-1)}{2}-n \\ =\frac{n(n-3)}{2}
Illustration:4.4 स्वरों तथा 7 व्यंजनों में से कोई भी 2 स्वर तथा 3 व्यंजनों को लेकर कुल कितने शब्द बनाएं जा सकते हैं?
(How many words can be formed by taking any two vowels and 3 constants out of 4 vowels and 7 consonants?):
Solution:4 स्वरों में 2 स्वर तथा 7 व्यंजनों में से 3 को लेकर कुल बनने वाले शब्द={}^4 C_2 \times {}^7 C_3 \times 5!=C(4,2) \cdot C(7,3) \cdot 5!
Illustration5.दो गोल मेजों के चारों ओर क्रमशः 14 तथा 11 कुर्सियाँ हैं।25 व्यक्तियों को इन कुर्सियों पर कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है?
(14 and 11 chairs are placed around two round table respectively. In how many ways 25 people can be seated on these chairs?):
Solution:25 व्यक्तियों को 14 कुर्सियों पर बैठाने के तरीके={}^{25} C_{14}
14 तथा 11 कुर्सियों पर 25 व्यक्तियों के बैठाने के तरीके={}^{25} C_{14} \times (13!) \times (10!)
Illustration:6.6 बंगाली,7 गुजराती तथा 10 पंजाबी युवकों की कितनी कतारें बनाई जा सकती हैं यदि एक बंगाली युवक किसी भी गुजराती तथा पंजाबी के बीच में रहे तथा गुजराती और पंजाबी साथ-साथ खड़े न हों?
(How many rows of 6 Bangalis, 7 Gujratis and 10 Punjabi boys can be formed if a Bengali boy stands between a Gujrati boy and a Punjabi boy and Gujrati boy and Punjabi boys do not stand side by side?):
Solution:गुजराती व पंजाबी युवकों के बीच एक बंगाली युवक खड़ा करने के बाद शेष 5 बंगाली युवकों को खड़े करने के तरीके=(6!)(7!)(10!)\left[{}^6 C_3 \cdot {}^9 C_2+{}^6 C_2 \cdot {}^9 C_3\right]
Illustration:7.1 से 100 के बीच में कोई तीन संख्याएँ कितने प्रकार से चयन की जा सकती हैं जिनका योगफल 3 से विभाजित हो?
(In how many ways there numbers between 1 and 100 can be chosen such that their sum is divisible by 3?):
Solution:1 से 100 बीच 3 संख्याओं के चयन के तरीके =2 \times {}^{33} C_3 \times {}^{33} C_2 +{}^{34} C_3 \times {}^{33} C_2+{}^{34} C_1 \times\left[{}^{33} C_2\right]^2
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ (Counting Techniques in Discrete Mathematics) को समझ सकते हैं।

3.विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ के सवाल (Counting Techniques in Discrete Mathematics Questions):

Counting Techniques

(1.)5 व्यंजनों एवं 4 स्वरों से 3 व्यंजन तथा 2 स्वर लेकर कुल कितने शब्द बनेंगे?
(2.)8 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 6 सदस्यों की समिति बनानी है।यह समिति कितने प्रकार से बनाई जा सकती है,जबकि प्रत्येक समिति में:
(i)केवल 2 पुरुष हों
(ii)केवल 2 महिलाएँ हों
(iii)कम से कम दो महिलाएँ हों
(iv)कम से कम दो पुरुष हों
उत्तर (Answers):(1.) {}^5 C_3 \times {}^4 C_2 \times 5!
(2.)(i)140 (ii)700 (iii)1408 (iv)1708
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ (Counting Techniques in Discrete Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ (Frequently Asked Questions Related to Counting Techniques in Discrete Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

विविक्त गणित में गणन प्रविधियाँ (Counting Techniques in Discrete Mathematics) के
इस आर्टिकल में संचय,क्रमचय के द्वारा कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।