Top Tips of Vogel Approximation Method

Q: प्रश्न:1.भरी हुई कोष्ठिकाओं से u और v का मान कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do u and v get the Values of Occupied Cells?):

उत्तर:सामान्य रूप में एक अज्ञात चर अर्थात् u_{i} तथा v_{j} को शून्य मान लेते हैं।साथ में यह भी ध्यान रखना चाहिए कि यदि किसी पंक्ति (माना iवीं) में कोष्ठिकाएँ अधिक भरी हो,तो उस कोष्ठिका के संगत u_{i} को शून्य मानते हैं अन्यथा यदि किसी स्तम्भ (माना jवें) में कोष्ठिकाएँ अधिक भरी हो,तो v_{j} को शून्य मानते हैं।

Q: प्रश्न:2.परिवहन समस्या का इष्टतम हल कब नहीं होता है? (When is the Transportation Problem Not Solved Optimally?):

उत्तर:यदि कम से कम एक d_{i j} < 0 ,तो इस स्थिति में हल इष्टतम नहीं होगा।

Q: प्रश्न:3.असन्तुलित परिवहन समस्याओं को कैसे हल करते हैं? (How Do You Solve Unbalanced Transportation Problems?):

उत्तर:असन्तुलित परिवहन समस्याओं को हल करने के लिए एक अतिरिक्त काल्पनिक (dummy) माँग स्थान (यदि पूर्ति माँग से अधिक हो तो) का प्रयोग करते हैं।इस कल्पित स्थान से परिवहन लागत शून्य लेते हैं।जब समस्या को सन्तुलित कर लिया जाता है तब समस्या को वोगल या अन्य किसी विधि से हल करते हैं। उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Top Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam May 11, 2025 Linear Programming No Comments

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1 1.वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Top Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

1.1 2.वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स के उदाहरण (Top Tips of Vogel Approximation Method Examples):

1.1.1 3.वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Frequently Asked Questions Related to Top Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.1.2 प्रश्न:1.भरी हुई कोष्ठिकाओं से u और v का मान कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do u and v get the Values of Occupied Cells?):

1.1.3 प्रश्न:2.परिवहन समस्या का इष्टतम हल कब नहीं होता है? (When is the Transportation Problem Not Solved Optimally?):

1.1.4 प्रश्न:3.असन्तुलित परिवहन समस्याओं को कैसे हल करते हैं? (How Do You Solve Unbalanced Transportation Problems?):

1.1.4.1 Top Tips of Vogel Approximation Method

2 वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स(Top Tips of Vogel Approximation Method)

2.1 Top Tips of Vogel Approximation Method

1.वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Top Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method):

Top Tips of Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Top Tips of Vogel Approximation Method) के इस आर्टिकल में परिवहन समस्याओं को हल करने पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स के उदाहरण (Top Tips of Vogel Approximation Method Examples):

Example:15.एक कम्पनी के पास तीन गोदाम हैं जिनसे वह विभिन्न स्थानों पर स्थित खुदरा बिक्री केन्द्रों को माल भेजती है।प्रत्येक गोदाम पर उपलब्ध मात्रा,बिक्री केन्द्रों की माँग व प्रत्येक गोदाम से प्रत्येक बिक्री केन्द्र के लिए परिवहन लागत से सम्बन्धित सूचना निम्न तालिका में दी गई है।न्यूनतम लागत के लिए आवंटन कार्यक्रम ज्ञात करिए।
(A company owns three warehouses from where goods are supplied to three retail stores situated at different places.Information regarding number of units available at each warehouse number of units demanded by each store and transportation cost from each warehouse to each destination is given in the following table. Find the solution so that total transportation cost is least.)
$\begin{array}{|c|ccc|c|} \hline \text{ गोदाम } & \text{परिवहन} & & \text{लागत } & \text{ पूर्ति } \\ & C_1 & C_2 & C_3 & \\ \hline O_1 & 6 & 4 & 1 & 14 \\ O_2 & 8 & 9 & 2 & 12 \\ O_3 & 4 & 3 & 6 & 5 \\ \hline \text { माँग } & 6 & 10 & 15 & 31 \\ \hline \end{array}$
Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं तथा इन अन्तरों को छोटे कोष्ठक में लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाली द्वितीय पंक्ति है जिसकी शास्ति 6 है।अतः द्वितीय पंक्ति में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (2,3) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(12,15)=12 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाला तृतीय स्तम्भ हैं जिसकी शास्ति 5 है।अतः तृतीय स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (1,3) को चुनते हैं।इसमें min(14,3)=3 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति व प्रथम स्तम्भ है जिनकी शास्ति 2 है।इनमें से प्रथम स्तम्भ को चुनते हैं।प्रथम स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,1) को चुनते हैं इसमें min(5,6)=5 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर अगले न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (आवंटन योग्य) (1,1) पर अधिकतम आवंटन min(11,1)=1 करते हैं।शेष इकाइयाँ कोष्ठक (2,2) पर min(10,10)=10 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|ccc|c|ccc|} \hline \text{warehouse} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Transportation cost}} & \text{supply} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Penalty}}\\ & C_1 & C_2 & C_3 & & & & \\ \hline O_1 & 1(6) & 10(4) & 3(1) & 14/11/ \not{10} & (3) & (3) & 2 \\ O_2 & (8) & (9) & 12(2) & \not{12} & (6) & - & - \\ O_3 & 5(4) & (3) & (6) & \not{5} & (1) & (1) &(1) \\ \hline \text{Demand} & 6 & \not{10} & 15/ \not{3} & \\ \cline{1-4} \text{Penalty} & (2) & (1) & (1) \\ & (2) & (1) & (5) \\ & (2) & (1) & - \\ \cline{1-4} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|ccc|} \multicolumn{1}{c}{} & C_1 & C_2 & \multicolumn{1}{c}{C_3} \\ \cline{2-4} O_1 & 1(6) & 10(4) & 3(1) \\ O_2 & & & 12(2) \\ O_3 & 5(4) & & \\ \cline{2-4} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=1×6+10×4+3×1+12×2+5×4
=6+40+3+24+20
=93 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 5 है जो m+n-1=3+3-1=5 के बराबर है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा करती है।
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{ij}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली प्रथम पंक्ति को चुनते हैं।अतः $u_{1}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{i j}=u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|ccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\ \cline{2-4} & *(6) & *(4) & *(1) & 0\\ & & & *(2) & 1 \\ & *(4) & & & -2 \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \to & 6 & 4 & \multicolumn{1}{c}{1} \end{array} \\ C_{11}=u_1+v_1 \Rightarrow 6=0+v_1 \Rightarrow v_1=6 \\ C_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 4=0+v_{21} \Rightarrow v_2=4 \\ C_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 1=0+v_3 \Rightarrow v_3=1 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 2=u_2+1 \Rightarrow u_2=1 \\ C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 4=u_3+6 \Rightarrow u_3=-2$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{ccc} * & * & * \\ 7 & 5 & * \\ * & 2 & -1 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$[C_{ij}]=\left[\begin{array}{lll} * & * & * \\ 8 & 9 & * \\ * & 3 & 6 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right] =\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] =\left[\begin{array}{lll} * & * & * \\ 8 & 9 & * \\ * & 3 & 6 \end{array}\right] -\left[\begin{array}{ccc} * & * & * \\ 7 & 5 & * \\ * & 2 & -1 \end{array} \right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right] =\left[\begin{array}{lll} * & * & * \\ 1 & 4 & * \\ * & 1 & 7 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव ऋणेतर हैं अतः उपर्युक्त हल इष्टतम है।इस से प्राप्त न्यूनतम लागत
$x_{11}=1, x_{12}=10, x_{13}=3, x_{23}=12, x_{31}=5$
न्यूनतम परिवहन लागत=93 रुपये

Top Tips of Vogel Approximation Method

Example:16.प्रत्येक गोदाम हेतु उपलब्ध पूर्ति सम्बन्धी आवश्यक सूचनायें निम्न सारणी में प्रदर्शित है।प्रत्येक उपभोक्ता की आवश्यकता एवं प्रत्येक गोदाम से प्रत्येक उपभोक्ता को आवश्यक मात्रा पहुँचाने की प्रति इकाई व्यय आदि दिया है।इष्टतम परिवहन प्रणाली ज्ञात कीजिए।
(The following table gives all necessary information on the available supply to each warehouses.The requirement of each customers and per unit transportation cost from each warehouse to each customer. Find optimal transportation schedule.)
$\begin{array}{|c|cccc|c|} \hline \text{warehouse} & \multicolumn{4}{|c|}{\text{Customers}} & a_{i} \\ & C_1 & C_2 & C_3 & C_4 & \\ \hline w_1 & 8 & 9 & 6 & 3 & 18 \\ w_2 & 6 & 11 & 5 & 10 & 20 \\ w_3 & 3 & 8 & 7 & 9 & 18 \\ \hline b_j & 15 & 16 & 12 & 13 & \\ \hline \end{array}$
Solution:पद (Step):I.प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों का अन्तर उसके सामने लिखते हैं तथा प्रत्येक स्तम्भ में न्यूनतम तथा अगली न्यूनतम लागतों के अन्तर को उस स्तम्भ के नीचे लिखते हैं।इस प्रकार आवंटन करते समय इस अन्तर को शास्ति (penalty) कहते हैं।
पद (Step):II.अधिकतम शास्ति वाला चतुर्थ स्तम्भ है जिसकी शास्ति 6 है।अतः चतुर्थ स्तम्भ में न्यूनतम लागत वाला कोष्ठक (1,4) को चुनते है इसमें अधिकतम आवंटन min(18,13)=13 करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली तृतीय पंक्ति हैं जिसकी शास्ति 4 है।अब तृतीय पंक्ति के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,1) को चुनते हैं।इसमें min(18,15)=15 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी नहीं होने पर शेष 18-15=3 इकाइयाँ अगले न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (3,3) पर min(3,12)=3 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाला द्वितीय स्तम्भ है जिनकी शास्ति 3 है।द्वितीय स्तम्भ के न्यूनतम लागत वाले कोष्ठक (2, 2) को चुनते हैं इसमें min(20,16)=16 का आवंटन करते हैं।सीमा पूरी होने पर पुनः शास्ति का निर्धारण करते हैं।अब अधिकतम शास्ति वाली प्रथम पंक्ति है जिसकी शास्ति 2 है।प्रथम पंक्ति के न्यूनतम लागत (आवंटन योग्य) वाले कोष्ठक (1,3) को चुनते हैं।इस पर min(5,9)=5 का आवंटन करते हैं।शेष इकाइयाँ कोष्ठक (2,3) पर min(4,4)=4 का आवंटन करते हैं।इस प्रकार पूर्ति इकाई व माँग इकाई का आवंटन पूरा हो गया है।वोगल सन्निकटन विधि के लिए अब हम एक ही निम्न सारणी में आवंटन कर हल ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|cccc|c|ccc|} \hline \text{warehouse} & \multicolumn{4}{|c|}{\text{Customers}} & a_{i} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Penalty}}\\ & C_1 & C_2 & C_3 & C_4 & & & & \\ \hline w_{1} & (8) & (9) & 5(6) & 13(3) & 18/ \not{5} & 3 & 2 & 2 \\ w_{2} & (6) & 16(11) & 4(5) & (10) & 20 / \not{4} & 1 & 1 & 1 \\ w_{3} & 15(3) & (8) & 3(7) & (9) & \not{18} & 4 & 4 & \\ \hline b_{j} & \not{15} & \not{16} & 12/9/\not{4} & \not{13} \\ \text{Penalty} & 3 / 3 & 1/1/1/3 & 1 / 1/1 & 6 \\ \cline{1-5} \end{array}$
उपर्युक्त सारणी से आधारी सुसंगत हल को निम्न सारणी में लिखते हैं:
$\begin{array}{c|cccc|} \multicolumn{1}{c}{} & C_1 & C_2 & C_3 & \multicolumn{1}{c}{C_4}\\ \cline{2-5} w_{1} & & & 5(6) & 13(3) \\ w_{2} & & 16(11) & 4(5) & \\ w_{3} & 15(3) & & 3(7) & \\ \cline{2-5} \end{array}$
अतः सारणी से कुल परिवहन लागत
=5×6+13×3+16×11+4×5+15×3+3×7
=30+39+176+20+45+21
=331 रुपए
उपर्युक्त सारणी से स्पष्ट है कि स्वतन्त्र नियतन की संख्या 6 है जो m+n-1=3+4-1=6 के बराबर है अतः इष्टतम की शर्त को पूरा करती है।
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाला तृतीय स्तम्भ हैं।अतः $v_{3}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{i j}= u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|cccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{u_{i}} \downarrow \\ \cline{2-5} & & & *(6) & *(3) & 6 \\ & & *(11) & *(5) & & 5 \\ & *(3) & & *(7) & & 7 \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \rightarrow & -4 & 6 & 0 & \multicolumn{1}{c}{-3} \end{array} \\ C_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 6=u_1+0 \Rightarrow u_1=6 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 5=u_2+0 \Rightarrow u_2=5 \\ C_{33}=u_3+v_3 \Rightarrow 7=u_3+0 \Rightarrow u_2=7 \\C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 3=6+v_4 \Rightarrow v_4=-3 \\ C_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 11=5+v_2 \Rightarrow v_2=6 \\ C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 3=7+v_1 \Rightarrow v_1=-4$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{llll} 2 & 12 & * & * \\ 1 & * & * & 2 \\ * & 13 & * & 4 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$[C_{ij}]=\left[\begin{array}{cccc} 8 & 9 & * & * \\ 6 & * & * & 10 \\ * & 8 & * & 9 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right] =\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{cccc} 8 & 9 & * & * \\ 6 & * & * & 10 \\ * & 8 & * & 9 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} 2 & 12 & * & * \\ 1 & * & * & 2 \\ * & 13 & * & 4 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 6 & -3 & * & * \\ 5 & * & * & 8 \\ * & -5 & * & 5 \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ में $\left[d_{12}=-3\right]$ तथा $d_{32}=-5$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है।न्यूनतम है अतः कोष्ठक (3,2) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{32}=-5$ न्यूनतम $\left[d_{i j}\right]$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर – $\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & & 5(6) & 13(3) \\ \hline & 16-\theta(11) \to & 4+\theta(5) \downarrow & \\ \hline 15(3) & +\theta \uparrow & \gets 3-\theta(7) & \\ \hline \end{array} \\ \min (16-\theta, 3-\theta)=0 \Rightarrow 3-\theta=0 \Rightarrow \theta=3$
इस प्रकार कोष्ठिका (3,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{|llll|} \hline & & 5(6) & 13(3) \\ & 13(11) & 7(5) & \\ 15(3) & 3(8) & & \\ \hline \end{array}$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=5×6+13×3+13×11+7×5+15×3+3×8
=30+39+143+35+45+24
=316 रुपये
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाली प्रथम व द्वितीय पंक्ति तथा तृतीय स्तम्भ में से तृतीय स्तम्भ को चुनते हैं।अतः $v_{3}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{i j}= u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|cccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & \multicolumn{1}{c}{} & u_{i} \downarrow \\\cline{2-5} & & & *(6) & *(3) & 6\\ & & *(11) & *(5) & & 5\\ & *(3) & *(8) & 5 & & 2 \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \rightarrow & 1 & 6 & 0 & \multicolumn{1}{c}{-3} \end{array} \\ C_{13}=u_1+v_3 \Rightarrow 6=u_1+0 \Rightarrow u_1=6 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 5=u_2+0 \Rightarrow u_2=5 \\ C_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 11=5+v_2 \Rightarrow v_2=6 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 8=u_3+6 \Rightarrow u_3=2 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 3=6+v_4 \Rightarrow v_4=-3 \\ C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 3=2+v_1 \Rightarrow v_1=1$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{llll} 7 & 12 & * & * \\ 6 & * & * & 2 \\ * & * & 2 & -1 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[c_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 8 & 9 & * & * \\ 6 & * & * & 10 \\ * & * & 7 & 9 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[C_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc} 8 & 9 & * & * \\ 6 & * & * & 10 \\ * & * & 7 & 9\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} 7 & 12 & * & * \\ 6 & * & * & 2 \\ * & * & 2 & -1 \end{array}\right] \\ \Rightarrow [d_{ij}]=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -3 & * & * \\ 0 & * & * & 8 \\ * & * & 5 & 10 \end{array}\right]$
मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ में $d_{12}=-3$ के अतिरिक्त सभी रिक्त कोष्ठिकाओं से सम्बन्धित मूल्यांकन ऋणेतर है। $d_{12}=-3$ न्यूनतम है अतः कोष्ठक (1,2) को आवंटन कर इस हल को सुधारते हैं।
चूँकि $d_{12}=-3$ न्यूनतम $d_{ij}$ है इसलिए इस कोष्ठक की अधिकतम आवंटन किसी भरे हुए कोष्ठक से करते हैं।शेष आवंटन में परिवर्तन करते हुए जैसा कि नीचे सारणी में दर्शाया गया है।यहाँ अधिकतम आवंटन माना $\theta$ है। $\theta$ बन्दलूप के कोने पर $-\theta$ वाले नियतन में से न्यूनतम को शून्य के बराबर रखकर $\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
इस प्रकार कोष्ठिका (1,3) में आवंटन शून्य हो जाता है अर्थात् यह खाली कोष्ठिका हो जाती है।नया आधारी हल निम्न सारणी में दर्शाया गया है।
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & +\theta \rightarrow & 5-\theta(6) \downarrow & 13(3) \\ \hline & 13-\theta(11) \uparrow & \gets +\theta(5) & \\ \hline 15(3) & 3(8) & & \\ \hline \end{array} \\ \min (5-\theta, 13-\theta)=0 \Rightarrow 5-\theta=0 \Rightarrow \theta=5$
इस आधारी हल (B. F. S.) के लिए कुल परिवहन लागत
=5×9+13×3+8×11+12×5+15×3+3×8
=45+39+88+60+45+24
=301 रुपये
इस हल की इष्टतम हल का परीक्षण के लिए चरणशः मैट्रिक्स बनाते हैं एवं मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के मानों के समुच्चय को ज्ञात करने के लिए सर्वाधिक नियतन वाले द्वितीय स्तम्भ को चुनते हैं।अतः $v_{2}$ को स्वेच्छित मान शून्य लेते हैं।भरी हुई कोष्ठिकाओं में सूत्र $C_{i j}= u_i+v_j$ का उपयोग करके $u_{i}$ तथा $v_{j}$ का मान ज्ञात करते हैं।
$u_{i}$ तथा $v_{j}$ के लिए सारणी
$\begin{array}{c|cccc|c} \multicolumn{1}{c}{} & & & & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{u_{i}} \downarrow \\ \cline{2-5} & & *(9) & & *(3) & 9 \\ & &*(11) & *(5) & & 11 \\ & *(3) & *(8) & & & 8 \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{v_{j}} \rightarrow & -5 & 0 & -6 & \multicolumn{1}{c}{-6} & \end{array} \\ C_{12}=u_1+v_2 \Rightarrow 9=u_1+0 \Rightarrow u_1=9 \\ C_{22}=u_2+v_2 \Rightarrow 11=u_2+0 \Rightarrow u_2=11 \\ C_{32}=u_3+v_2 \Rightarrow 8=u_3+0 \Rightarrow u_3=8 \\ C_{14}=u_1+v_4 \Rightarrow 3=9+v_4 \Rightarrow v_4=-6 \\ C_{23}=u_2+v_3 \Rightarrow 5=11+v_3 \Rightarrow v_3=-6 \\ C_{31}=u_3+v_1 \Rightarrow 3=8+v_1 \Rightarrow v_1=-5$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[u_i+v_j\right]=\left[\begin{array}{llll} 4 & * & 3 & * \\ 6 & * & * & 5 \\ * & * & 2 & 2 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स
$\left[c_{i j}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 8 & * & 6 & * \\ 6 & * & * & 10 \\ * & * & 7 & 9 \end{array}\right]$
रिक्त कोष्ठिकाओं के लिए मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$
$\left[d_{i j}\right]=\left[c_{i j}\right]-\left[u_i+v_j\right] \\=\left[\begin{array}{llll} 8 & * & 6 & * \\6 & * & * & 10 \\ * & * & 7 & 9 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{llll} 4 & * & 3 & * \\ 6 & * & * & 5 \\ * & * & 2 & 2 \end{array}\right] \\ \Rightarrow \left[d_{i j}\right]=\left[\begin{array}{llll} 4 & * & 3 & * \\ 0 & * & * & 5 \\ * & * & 5 & 7 \end{array}\right]$
चूँकि यहाँ मैट्रिक्स $\left[d_{i j}\right]$ के सभी अवयव ऋणेतर हैं अतः उपर्युक्त आधारी इष्टतमत हल है।साथ ही $d_{21}=0$ इंगित करता है कि इसका वैकल्पिक इष्टतम हल भी विद्यमान है।अतः इस हल से प्राप्त न्यूनतम परिवहन लागत
=301 रुपये इष्टतम है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Top Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) को समझ सकते हैं।

Top Tips of Vogel Approximation Method

Also Read This Article:- 3 Tips of Vogel Approximation Method

3.वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Frequently Asked Questions Related to Top Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.भरी हुई कोष्ठिकाओं से u और v का मान कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do u and v get the Values of Occupied Cells?):

उत्तर:सामान्य रूप में एक अज्ञात चर अर्थात् $u_{i}$ तथा $v_{j}$ को शून्य मान लेते हैं।साथ में यह भी ध्यान रखना चाहिए कि यदि किसी पंक्ति (माना iवीं) में कोष्ठिकाएँ अधिक भरी हो,तो उस कोष्ठिका के संगत $u_{i}$ को शून्य मानते हैं अन्यथा यदि किसी स्तम्भ (माना jवें) में कोष्ठिकाएँ अधिक भरी हो,तो $v_{j}$ को शून्य मानते हैं।

प्रश्न:2.परिवहन समस्या का इष्टतम हल कब नहीं होता है? (When is the Transportation Problem Not Solved Optimally?):

उत्तर:यदि कम से कम एक $d_{i j} < 0$ ,तो इस स्थिति में हल इष्टतम नहीं होगा।

प्रश्न:3.असन्तुलित परिवहन समस्याओं को कैसे हल करते हैं? (How Do You Solve Unbalanced Transportation Problems?):

उत्तर:असन्तुलित परिवहन समस्याओं को हल करने के लिए एक अतिरिक्त काल्पनिक (dummy) माँग स्थान (यदि पूर्ति माँग से अधिक हो तो) का प्रयोग करते हैं।इस कल्पित स्थान से परिवहन लागत शून्य लेते हैं।जब समस्या को सन्तुलित कर लिया जाता है तब समस्या को वोगल या अन्य किसी विधि से हल करते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Top Tips of Vogel Approximation Method),वोगल सन्निकटन द्वारा परिवहन समस्या का हल (Solution of Transportation Problems by Vogel Approximation Method) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Top Tips of Vogel Approximation Method

वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स
(Top Tips of Vogel Approximation
Method)

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वोगल सन्निकटन विधि की टाॅप टिप्स (Top Tips of Vogel Approximation Method) के इस
आर्टिकल में परिवहन समस्याओं को हल करने पर आधारित सवालों को हल करके समझने
का प्रयास करेंगे।

About Author

Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.